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2009 東京学芸大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 行列 A= (0 13 2 ) に対し,数列 {an }

a1= 1 a2 =1 ( an +1 an +2 )= A( an an +1 ) n =1 2 3

をみたすとする.下の問いに答えよ.

(1)  P=( 11 pq ) が逆行列をもち, P-1 A P=( a0 0b ) が成り立つような a b p q の値を求めよ.ただし a> b とする.

(2)  An を求めよ.

(3) 一般項 an を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】  1 辺の長さが 1 の正五角形 ABCDE の外接円の中心を O とする.ベクトル AB AE をそれぞれ a b とするとき,下の問いに答えよ.

(1) 対角線 AC BE の交点を F とするとき, BF の長さを求めよ.

(2) 内積 a b を求めよ.

(3) ベクトル AO a b を用いて表せ.

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【3】 点 O を中心とする半径 1 の円周上に 2 A B をとり, AOB= 2θ とする. θ の範囲を 0< θ< π2 とするとき, AOB の内接円の半径の最大値を求めよ.

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【4】 下の問いに答えよ.

(1)  0<x 1 のとき,次の不等式が成り立つことを示せ.

1+x+ x 22 <ex <1+x + x22 + x33

(2)  a を正の実数とする.関数 f (x) がすべての x に対して

f(x )=e ax 01 f (t) dt+ 2x

をみたしている. f(x ) x= p で極値をもつとき,極限 lim a+ 0 ea p を求めよ.

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