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2009-10264-0101
2009 東京学芸大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 行列 A= (0 13 2 ) に対し,数列 {an } が
a1= 1 ,a2 =1 ,( an +1 an +2 )= A⁢( an an +1 ) (n =1 ,2 ,3 ,⋯ )
をみたすとする.下の問いに答えよ.
(1) P=( 11 pq ) が逆行列をもち, P-1 ⁢A⁢ P=( a0 0b ) が成り立つような a ,b , p, q の値を求めよ.ただし a> b とする.
(2) An を求めよ.
(3) 一般項 an を求めよ.
2009-10264-0102
【2】 1 辺の長さが 1 の正五角形 ABCDE の外接円の中心を O とする.ベクトル AB → ,AE → をそれぞれ a → ,b → とするとき,下の問いに答えよ.
(1) 対角線 AC ,BE の交点を F とするとき, BF の長さを求めよ.
(2) 内積 a→ ⋅b → を求めよ.
(3) ベクトル AO → を a→ , b→ を用いて表せ.
2009-10264-0103
【3】 点 O を中心とする半径 1 の円周上に 2 点 A ,B をとり, ∠AOB= 2⁢θ とする. θ の範囲を 0< θ< π2 とするとき, ▵AOB の内接円の半径の最大値を求めよ.
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【4】 下の問いに答えよ.
(1) 0<x≦ 1 のとき,次の不等式が成り立つことを示せ.
1+x+ x 22 <ex <1+x + x22 + x33
(2) a を正の実数とする.関数 f⁡ (x) がすべての x に対して
f⁡(x )=e a⁢x ⁢ ∫01 ⁡f ⁡(t) ⁢dt+ 2⁢x
をみたしている. f⁡(x ) が x= p で極値をもつとき,極限 lim a→+ 0⁡ ea⁢ p を求めよ.