2009　東京工業大学　前期MathJax

【１】　点$\mathrm{P}$から放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$へ$2$本の接線が引けるとき，$2$つの接点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，線分$\mathrm{PA}\text{，}\mathrm{PB}$およびこの放物線で囲まれる図形の面積を$S$とする．$\mathrm{PA}\text{，}\mathrm{PB}$が直交するときの$S$の最小値を求めよ．

【２】　実数$a$に対し，次の$1$次変換

$f(x,y)=(ax+(a-2)y,(a-2)x+ay)$

を考える．以下の$2$条件をみたす直線$L$が存在するような$a$を求めよ．

• (1)　$L$は点$(0,1)$を通る．
• (2)　点$\mathrm{Q}$が$L$上にあれば，その$f$による像$f(\mathrm{Q})$も$L$上にある．

【３】　$N$を正の整数とする．$2N$以下の正の整数$m\text{，}n$からなる組$(m,n)$で，方程式$x^2-nx+m=0$が$N$以上の実数解をもつようなものは何組あるか．

【４】　$xyz$空間の原点と点$(1,1,1)$を通る直線を$l$とする．

(1) 　$l$上の点${\displaystyle (\frac{t}{3},\frac{t}{3},\frac{t}{3})}$を通り$l$と垂直な平面が，$xy$平面と交わってできる直線の方程式を求めよ．

(2)　不等式$0\leqq y\leqq x(1-x)$の表す$xy$平面内の領域を$D$とする．$l$を軸として$D$を回転させて得られる回転体の体積を求めよ．