2009　お茶の水女子大学　前期共通MathJax

【１】　正の整数$n$に対し $n$の正の約数すべての和を$\sigma (n)$とおく．ただし，$1$と$n$も$n$の約数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　素数$p\text{，}$正の整数$a$に対し，$n=p^a$とおく．$\sigma (n)$を$p$と$a$で表せ．

(2)　相異なる素数$p\text{，}q\text{，}$正の整数$a\text{，}b$に対し，$n=p^a\text{，}m=q^b$とおく．このとき，

$\sigma (nm)=\sigma (n)\sigma (m)$

が成立することを証明せよ．

(3)　正の整数$a$について$2^a-1$が素数とする．このとき，$n=2^{a-1}(2^a-1)$とおくと，

$\sigma (n)=2n$

が成立することを証明せよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)\text{，}g(x)$を

• $f(x)=|x^2-4x+3|$
• $g(x)=ax\text{（}a>0\text{）}$

とおく．曲線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$が共有点を$4$つもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　次の連立不等式の表す領域を図示し，その領域の面積を求めよ．

$\{\begin{array}{l}y\geqq |x^2-4x+3|\\ y\leqq x\end{array}$

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　方程式$3x^3-6x+2=0$は$2$つの相異なる実数解をもち，それらはいずれも$0$でないことを示せ．

(2)　$\alpha \text{，}\beta$を(1)の方程式の相異なる解とする．自然数$n$に対し$A_n=({\alpha }^{-n}+{\beta }^{-n}){(\alpha +\beta )}^n$とおく．

(ⅰ)　$A_1\text{，}{A}_2$は整数となることを示せ．

(ⅱ)　すべての自然数$n$について$A_n$は整数となることを示せ．

【３】　$a$を正の数とし，次のような条件をみたす四面体$\mathrm{OABC}$を考える．

• $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}=90°$
• $\mathrm{OB}=4\text{，}\mathrm{BC}=5\text{，}\mathrm{OC}=3\text{，}\mathrm{OA}=a$．

(1)　$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．$\cos \theta$を$a$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を$a$を用いて表せ．

(3)　球$S_1$が四面体$\mathrm{OABC}$のすべての面と接しているとする．この球$S_1$の半径を$a$を用いて表せ．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$のすべての頂点が球$S_2$の表面上にあるとする．この球$S_2$の半径を$a$を用いて表せ．