Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2009年度一覧へ
大学別一覧へ
お茶の水大一覧へ
2009-10270-0301
2009 お茶の水女子大学 後期
理学部数学科
易□ 並□ 難□
【1】 n を 2 以上の自然数とする.円 C の周上に n 個の異なる点 P 1, P2 , ⋯ ,Pn を順に配置し,それらのうちの異なる 2 点をすべて線分で結ぶ.これらの線分が円 C の内部において,どの 3 本も 1 点では交わらないとする.以下では,交点は円 C の内部にあるもののみを考える.このとき,円 C の内部にある交点の総数を an とする.
(1) 図をかいて a2 , a3 ,a4 , a5 を求めよ.
(2) 1≦k≦ n-1 となる自然数 k を 1 つ固定したとき,線分 P kPn 上にある交点の個数を n と k の式で表せ.
(3) 線分 P1 Pn , P2 Pn ,⋯ ,P n-1 Pn の上にある交点の総数を求めよ.
(4) an を求めよ.
2009-10270-0302
【2】 次の問いに答えよ.ただし,単位行列 E で表される移動も回転移動と見なす.
(1) θ を実数とする.座標平面上の直線 (sin ⁡θ)⁢ x-(cos ⁡θ) ⁢y=0 に関する対称移動を表す行列は
( cos⁡2⁢ θsin⁡ 2⁢θ sin⁡ 2⁢θ -cos⁡ 2⁢θ )
となることを示せ.
(2) 座標平面上の原点 O を通る 2 つの直線 l1 , l2 に関する対称移動をそれぞれ r 1 ,r2 とする. r1 ,r2 をこの順に合成して得られる座標平面上の点の移動は原点 O を中心とする回転移動であることを示せ.
(3) 座標平面上の原点 O を通る直線 l1 , ⋯, lk に関する対称移動をそれぞれ r 1 ,⋯ ,r k とする. r1 , ⋯, rk をこの順に合成して得られる座標平面上の点の移動を f とする. f は原点 O を通るある直線に関する対称移動か,または原点 O を中心とする回転移動であることを示せ.
2009-10270-0303
【3】 座標平面上の原点 O を中心とする半径 4 の定円 C1 に半径 1 の円 C2 が外接しながらすべらずに反時計回りに回転する.円 C2 の周上に点 P が固定されている. C2 の中心 Q が点 (5 ,0) にあるとき,点 P はちょうど円 C1 と C2 の接点 (4 ,0) の位置にあるものとする. C2 の中心 Q が点 (5 ,0) の位置から点 (0 ,5) の位置まで進むとき,点 P の描く曲線を C とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) x 軸の正の方向と線分 OQ のなす角を θ ( 0≦θ ≦ π2 ) とするとき, P の座標は
(5⁢cos ⁡θ-cos ⁡5⁢θ ,5⁢sin ⁡θ-sin ⁡5⁢θ )
で与えられることを示せ.
(2) C 上の点で x 座標が最も大きくなる点を求めよ.
(3) 曲線 C と x 軸, y 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.