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2009 お茶の水女子大学 後期

理学部数学科

易□ 並□ 難□

【1】  n 2 以上の自然数とする.円 C の周上に n 個の異なる点 P 1 P2 Pn を順に配置し,それらのうちの異なる 2 点をすべて線分で結ぶ.これらの線分が円 C の内部において,どの 3 本も 1 点では交わらないとする.以下では,交点は円 C の内部にあるもののみを考える.このとき,円 C の内部にある交点の総数を an とする.

(1) 図をかいて a2 a3 a4 a5 を求めよ.

(2)  1k n-1 となる自然数 k 1 つ固定したとき,線分 P kPn 上にある交点の個数を n k の式で表せ.

(3) 線分 P1 Pn P2 Pn P n-1 Pn の上にある交点の総数を求めよ.

(4)  an を求めよ.

2009 お茶の水女子大学 後期

理学部数学科

易□ 並□ 難□

【2】 次の問いに答えよ.ただし,単位行列 E で表される移動も回転移動と見なす.

(1)  θ を実数とする.座標平面上の直線 (sin θ) x-(cos θ) y=0 に関する対称移動を表す行列は

( cos2 θsin 2θ sin 2θ -cos 2θ )

となることを示せ.

(2) 座標平面上の原点 O を通る 2 つの直線 l1 l2 に関する対称移動をそれぞれ r 1 r2 とする. r1 r2 をこの順に合成して得られる座標平面上の点の移動は原点 O を中心とする回転移動であることを示せ.

(3) 座標平面上の原点 O を通る直線 l1 lk に関する対称移動をそれぞれ r 1 r k とする. r1 rk をこの順に合成して得られる座標平面上の点の移動を f とする. f は原点 O を通るある直線に関する対称移動か,または原点 O を中心とする回転移動であることを示せ.

2009 お茶の水女子大学 後期

理学部数学科

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上の原点 O を中心とする半径 4 の定円 C1 に半径 1 の円 C2 が外接しながらすべらずに反時計回りに回転する.円 C2 の周上に点 P が固定されている. C2 の中心 Q が点 (5 ,0) にあるとき,点 P はちょうど円 C1 C2 の接点 (4 ,0) の位置にあるものとする. C2 の中心 Q が点 (5 ,0) の位置から点 (0 ,5) の位置まで進むとき,点 P の描く曲線を C とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)  x 軸の正の方向と線分 OQ のなす角を θ ( 0θ π2 ) とするとき, P の座標は

(5cos θ-cos 5θ ,5sin θ-sin 5θ )

で与えられることを示せ.

(2)  C 上の点で x 座標が最も大きくなる点を求めよ.

(3) 曲線 C x 軸, y 軸で囲まれた部分の面積を求めよ.

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