2009　電気通信大学　昼間，夜間共通・前期MathJax

【１】　関数

$f(\theta )={\displaystyle {\int }_0^1}|\sqrt{1-x^2}-\sin \theta |dx$

を区間$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で考えるとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(0)\text{，}f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$の値を求めよ．

(ⅱ)　$f(\theta )$を簡単な式で表せ．

(ⅲ)　導関数$f^{\prime }(\theta )$を求めよ．

(ⅳ)　関数$f(\theta )$の最大値および最小値を求めよ．

(ⅴ)　$I={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(\theta )d\theta$の値を求めよ．

【２】　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して

$S_n={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{2n+1}{e}^{-x^2}dx$

とおく．以下の問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底である．

(ⅰ)　$I={\displaystyle {\int }_0^1}x{e}^{-x^2}dx$および$S_1$の値を求めよ．

(ⅱ)　$S_{n+1}$を$S_n$を用いて表せ．

(ⅲ)　$T_n={\displaystyle \frac{S_n}{n!}}$とおくとき，$T_{n+1}$を$T_n$を用いて表せ．

(ⅳ)　$S_n$を求めよ．（必要ならば和の記号${\displaystyle \sum }$を用いてよい．）

(ⅴ)　$n$が$1$以上の整数のとき，次の不等式を証明せよ．

${\displaystyle \frac{1}{(n+1)!}}<e-1-{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k!}}<{\displaystyle \frac{e}{(n+1)!}}$

【３】　右の図で，はじめ$\boxed{\mathrm{Q}}$にいて，さいころを投げるごとに，次の$2$つの規則に従って移動するものとする．

$\text{①}$　$\boxed{\mathrm{Q}}$にいるとき，さいころの偶数の目が出たら$\boxed{\mathrm{P}}$に，奇数の目が出たら$\boxed{\mathrm{R}}$に移動する．

$\text{②}$　$\boxed{\mathrm{P}}$あるいは$\boxed{\mathrm{R}}$にいるとき，さいころの$3$または$6$の目が出たら$\boxed{\mathrm{Q}}$に移動し，それ以外の数の目が出たらその場にとどまる．

$n$回さいころを投げて移動した後に$\boxed{\mathrm{P}}\text{，}\boxed{\mathrm{Q}}$にいる確率を，それぞれ$p_n\text{，}{q}_n$とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$p_1\text{，}{q}_1\text{，}{p}_2\text{，}{q}_2$を求めよ．

(ⅱ)　$q_{n+1}$を$q_n$を用いて表せ．

(ⅲ)　$p_n$を$q_n$を用いて表せ．

(ⅳ)　$p_n\text{，}{q}_n$を求めよ．

(ⅴ)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{q}_n$を求めよ．

【４】　点$\mathrm{P}(x,y)$を原点$\mathrm{O}$のまわりに正の向きに角$45\mathrm{°}$だけ回転した点を$\mathrm{Q}(x^{\prime },y^{\prime })$とする．$f=4{(x^{\prime })}^2+2{(y^{\prime })}^2$とおき，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　 $(x,y)$と$(x^{\prime },y^{\prime })$の関係は，行列$A$を用いて

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

と表すことができる．このような行列$A$を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}(x,y)$が$C$上を動くとき，$f$の最大値とそのときの点$\mathrm{P}(x,y)$の座標をすべて求めよ．

(ⅲ)　$f=(\begin{array}{cc}x& y\end{array})\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$となる定数$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

(ⅳ)　$a\text{，}b\text{，}c$を(ⅲ)で求めた値とし，

$B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)$

とおく．点$\mathrm{P}(x,y)$が$C$上を動くとき，

$g=(\begin{array}{cc}x& y\end{array})(B+k{B}^2)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

が定数となるような定数$k$の値と，そのときの$g$の値を求めよ．

【２】　$x>0$の範囲で定義される関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x\log x}}$について，以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は自然対数とする．

(ⅰ)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　関数$f(t)$の増減を調べ，その極値を求めよ．

(ⅲ)　$x$についての方程式$f(x)=b$が異なる$2$つの実数解を持つような定数$b$の値の範囲を求めよ．ただし$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$であることは既知としてよい．

(ⅳ)　$x$についての方程式$f(x)=f(a)$が異なる$2$つの実数解を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．

【３】　$xy$平面の$2$曲線

$C_1:y=\sin x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{，}{C}_2:y=k\cos x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

に対して，以下の問いに答えよ．ただし，$k$は正の定数とする．

(ⅰ)　$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\sin \alpha \text{，}\cos \alpha$を$k$を用いて表せ．

(ⅱ)　$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とする．$S_1$を$k$を用いて表せ．

(ⅲ)　$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$および直線$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．$S_2$を$k$を用いて表せ．

(ⅳ)　$3S_1=2S_2$となるような$k$の値を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　 次の無限級数が収束するような実数$x$の値の範囲を求めよ．また，そのときの和$S$を求めよ．

$1+x(1-2x)+x^2{(1-2x)}^2+x^3{(1-2x)}^3+\cdots$

【４】　以下の問いに答えよ．

(ⅱ)　極限値$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin 2x-2\sin x}{x{\sin }^{2}x}}$を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は自然対数とし，$e$はその底とする．

(ⅲ)　$f(x)={(2e^{3x}-1)}^5$のとき，$f^{\prime }(0)$の値を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(ⅳ)　次の定積分の値を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{dx}{x^2+3x+2}}$

【４】　以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は自然対数とし，$e$はその底とする．

(ⅳ)　次の定積分の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_1^e}x{(\log x)}^{2}dx$

【４】　以下の問いに答えよ．

(ⅴ)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k}{\sqrt{n^2+k^2}}}$を求めよ．