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2009 電気通信大学 昼間・後期

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】 次の関数 f (x) g (x) に関して,以下の問いに答えよ.

f( x)= e2 x-3 ex g( x)= -e2 x+ 5e x

(ⅰ)  f( x) および g (x) の増減を調べ,極値を求めよ.

(ⅱ) 次の極限値を求めよ.

limx f( x) lim x- f( x) lim x f (x )g (x ) limx - f( x) g( x)

(ⅲ)  2 つの曲線 y= xf (x ) y= xg (x ) の交点の x 座標を求めよ.

(ⅳ)  2 つの曲線 y= xf (x ) y= xg (x ) によって囲まれた図形の面積を求めよ.

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【2】  x0 において関数 f (x )

f( x)= { 0 π2 x sin 2θ x+2 xcos 2θ +1 dθ x 1 a x= 1

で定義する.ただし, a は定数とする.以下の問いに答えよ.

(ⅰ)  x を定数とみて, u( θ)= x+2 xcos 2θ +1 とおくとき, u( 0) u ( π2 ) および導関数 u ( θ) を求めよ.

(ⅱ) 置換積分を利用して, x1 のときの f (x ) を簡単にせよ.

(ⅲ)  f( x) x= 1 で連続になるように a の値を定めよ.

以下では a は(ⅲ)で定めた値とする.

(ⅳ)  y=f (x ) のグラフの概形を 0 x2 の範囲で描け.

(ⅴ) 定積分 02 f (x )d x を求めよ.

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【3】  p=0 1 2 3 に対して,次の和

Sp (n) = k= 1n kp

を考える.ただし n は自然数である.以下の問いに答えよ.

(ⅰ)  S0 (n) S1 (n) S2 (n ) n の式で表せ(証明は必要ない).

(ⅱ)  S3 (n) ={ 12 n( n+1) }2 であることを数学的帰納法で証明せよ.

(ⅲ)  k5- (k -1) 5 を降べきの順に整理せよ.また,これを利用して n 5 S0 (n) S 1( n) S 2( n) S3 ( n) S 4( n) を用いて表せ.

(ⅳ) 以上の結果を用いて, S4 (n ) n の式で表せ.

(ⅴ)  Sp (n ) n p+ 1 次式であり, np+ 1 の係数は 1p+1 であることを, p に関する数学的帰納法によって証明せよ.

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【4】 実数 a に対して直線 y= x+a l a とする.たとえば, l0 とは直線 y =x のことである.また,関数 f (t )=t 2+t g (t )=2 t2 を用いて,

{ x=f (t) y= g( t)

と媒介変数表示される曲線を C とする.以下の問いに答えよ.

(ⅰ)  l0 C の交点をすべて求めよ.

(ⅱ)  la C 2 つの異なる交点をもつための a に関する条件を求めよ.

(ⅲ) 不等式 y x の表す領域を D とする.点 (f (t ),g (t )) D に含まれるための t に関する条件を求めよ.

(ⅳ)  l0 C とで囲まれた図形の面積を求めよ.

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