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2009-10271-0201
2009 電気通信大学 昼間・後期
配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 次の関数 f⁡ (x) ,g⁡ (x) に関して,以下の問いに答えよ.
f⁡( x)= e2⁢ x-3 ⁢ex , g⁡( x)= -e2 ⁢x+ 5⁢e x
(ⅰ) f⁡( x) および g⁡ (x) の増減を調べ,極値を求めよ.
(ⅱ) 次の極限値を求めよ.
limx→ ∞⁡ f⁡( x) ,lim x→- ∞⁡ f⁡( x) ,lim x→∞ ⁡ f ⁡(x )g ⁡(x ) , limx→ -∞⁡ f⁡( x) g⁡( x)
(ⅲ) 2 つの曲線 y= x⁢f⁡ (x ) と y= x⁢g⁡ (x ) の交点の x 座標を求めよ.
(ⅳ) 2 つの曲線 y= x⁢f⁡ (x ) と y= x⁢g⁡ (x ) によって囲まれた図形の面積を求めよ.
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【2】 x≧0 において関数 f ⁡(x ) を
f⁡( x)= { ∫0 π2 ⁡ x ⁢sin⁡ 2⁢θ x+2⁢ x⁢cos ⁡2⁢θ +1 ⁢ dθ( x≠ 1) a( x= 1)
で定義する.ただし, a は定数とする.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) x を定数とみて, u⁡( θ)= x+2⁢ x⁢cos ⁡2⁢θ +1 とおくとき, u⁡( 0) ,u⁡ ( π2 ) および導関数 u ′⁡( θ) を求めよ.
(ⅱ) 置換積分を利用して, x≠1 のときの f⁡ (x ) を簡単にせよ.
(ⅲ) f⁡( x) が x= 1 で連続になるように a の値を定めよ.
以下では a は(ⅲ)で定めた値とする.
(ⅳ) y=f⁡ (x ) のグラフの概形を 0≦ x≦2 の範囲で描け.
(ⅴ) 定積分 ∫02 ⁡f ⁡(x )⁢d x を求めよ.
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【3】 p=0 ,1 ,2 ,3 ,⋯ に対して,次の和
Sp⁡ (n) = ∑k= 1n ⁡kp
を考える.ただし n は自然数である.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) S0⁡ (n) , S1⁡ (n) ,S2 ⁡(n ) を n の式で表せ(証明は必要ない).
(ⅱ) S3⁡ (n) ={ 12 ⁢ n⁢( n+1) }2 であることを数学的帰納法で証明せよ.
(ⅲ) k5- (k -1) 5 を降べきの順に整理せよ.また,これを利用して n 5 を S0⁡ (n) ,S 1⁡( n) ,S 2⁡( n) ,S3 ⁡( n) ,S 4⁡( n) を用いて表せ.
(ⅳ) 以上の結果を用いて, S4⁡ (n ) を n の式で表せ.
(ⅴ) Sp⁡ (n ) は n の p+ 1 次式であり, np+ 1 の係数は 1p+1 であることを, p に関する数学的帰納法によって証明せよ.
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【4】 実数 a に対して直線 y= x+a を l a とする.たとえば, l0 とは直線 y =x のことである.また,関数 f ⁡(t )=t 2+t と g ⁡(t )=2 ⁢t2 を用いて,
{ x=f⁡ (t) y= g⁡( t)
と媒介変数表示される曲線を C とする.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) l0 と C の交点をすべて求めよ.
(ⅱ) la と C が 2 つの異なる交点をもつための a に関する条件を求めよ.
(ⅲ) 不等式 y≦ x の表す領域を D とする.点 (f ⁡(t ),g ⁡(t )) が D に含まれるための t に関する条件を求めよ.
(ⅳ) l0 と C とで囲まれた図形の面積を求めよ.