2009　電気通信大学　夜間総合問題・後期MathJax

【４】　$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$君が階段を上るゲームをしています．

例えば階段が$1$段の場合には，$1$投目に表が出ても裏が出ても，二人とも階段の一番上に到達するので引き分けとなります．つまり，確率$1$で引き分け，$\mathrm{A}$さんが勝つ確率も$\mathrm{B}$君が勝つ確率も$0$です．

(1)　階段が$2$段のとき，$\mathrm{A}$さんが勝つ確率を求めなさい．

(2)　階段が$3$段のとき，コインを$1$回投げただけでは決着がつきません．コインを$2$回投げるとき，表裏の出方は「表表」「表裏」「裏表」「裏裏」の$4$種類が考えられます．それぞれの場合に$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$君が階段のどの場所にいるか，答えなさい．また，決着がついている場合にはその結果も答えなさい．

(3)　階段が$4$段のとき，$\mathrm{A}$さんが勝つ確率を求めなさい．

(4)　階段が$N$段のとき，最も速く決着がつく場合には，コインを何回投げているでしょうか？$N$が偶数のときと奇数のときに分けて答えなさい．

(5)　$N$と$K$を，

$3K=2N-1$

を満たす正の整数とします．すると，階段が$N$段ならば，$K$回コインを投げるうちに，必ず決着がつきます．すなわち$K+1$回目のコインを投げることはありません．理由を説明しなさい．