2009 一橋大学 前期

Mathematics

Examination

Test

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2009-10272-0101(解答は川村先生サイトで)

2009 一橋大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】  2 以上の整数 m n m 3+1 3=n 3+10 3 をみたす. m n を求めよ.

2009-10272-0102 (解答は川村先生サイトで)

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易□ 並□ 難□

【2】(1) 任意の角 θ に対して, -2 xcos θ+ ysin θ y+1 が成立するような点 (x ,y) の全体からなる領域を x y 平面上に図示し,その面積を求めよ.

(2) 任意の角 α β に対して, -1 x2 cos α+ ysin β 1 が成立するような点 (x ,y) の全体からなる領域を x y 平面上に図示し,その面積を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】  p q を実数とする.放物線 y= x2 -2 px +q が,中心 (p ,2 q) で半径 1 の円と中心 (p ,p) で半径 1 の円の両方と共有点をもつ.この放物線の頂点が存在しうる領域を x y 平面上に図示せよ.

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易□ 並□ 難□

【4】 一辺の長さが 2 の正三角形 ABC を平面上におく. ABC 1 つの辺に関して 180 ° 折り返すという操作を繰り返し行う.辺 BC に関する折り返しを T A CA に関する折り返しを T B AB に関する折り返しを T C とする. ABC は,最初 3 A B C がそれぞれ平面上の 3 O B C の上におかれているとする.

(1)  TA TC TB TC TA の順に折り返し操作を施したときの頂点 A の移り先を P とする.また, T A TC TB T A T C T B T A の順に折り返し操作を施したときの頂点 A の移り先を Q とする. θ= POQ とするとき, cosθ の値を求めよ.

(2) 整数 k l に対して, OR =3 kO B +3 l OC により定められる点 R は, TA TB TC の折り返し操作を組み合わせることにより,点 A の移り先になることを示せ.

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易□ 並□ 難□

【5】  X Y Z と書かれたカードがそれぞれ 1 枚ずつある.この中から 1 枚のカードが選ばれたとき, xy 平面上の点 P を次の規則にしたがって移動する.

(1)  n を正の整数とする.最初,点 P を原点の位置におく. X のカードと Y のカードの 2 枚から無作為に 1 枚を選び, P を,上の規則にしたがって移動するという試行を n 回繰り返す.

(ⅰ)  n 回の試行の後に P が到達可能な点の個数を求めよ.

(ⅱ)  P が到達する確率が最大の点をすべて求めよ.

(2)  n を正の 3 の倍数とする.最初,点 P を原点の位置におく. X のカード, Y のカード, Z のカードの 3 枚のカードから無作為に 1 枚を選び, P を,上の規則にしたがって移動するという試行を n 回繰り返す.

(ⅰ)  n 回の試行の後に P が到達可能な点の個数を求めよ.

(ⅱ)  P が到達する確率が最大の点をすべて求めよ.