2009　一橋大学　前期MathJax

2009-10272-0101

犬プリの世界さんの解答(PDF)へ

2009　一橋大学　前期

易□　並□　難□

【１】　 $2$ 以上の整数 $m ， n$ は $m^{3} + 1^{3} = n^{3} + 10^{3}$ をみたす． $m ， n$ を求めよ．

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易□　並□　難□

【２】(1)　任意の角 $θ$ に対して， $- 2 ≦ x \cos θ + y \sin θ ≦ y + 1$ が成立するような点 $(x, y)$ の全体からなる領域を $x y$ 平面上に図示し，その面積を求めよ．

(2)　任意の角 $α ， β$ に対して， $- 1 ≦ x^{2} \cos α + y \sin β ≦ 1$ が成立するような点 $(x, y)$ の全体からなる領域を $x y$ 平面上に図示し，その面積を求めよ．

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易□　並□　難□

【３】　 $p ， q$ を実数とする．放物線 $y = x^{2} - 2 p x + q$ が，中心 $(p, 2 q)$ で半径 $1$ の円と中心 $(p, p)$ で半径 $1$ の円の両方と共有点をもつ．この放物線の頂点が存在しうる領域を $x y$ 平面上に図示せよ．

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易□　並□　難□

【４】　一辺の長さが $2$ の正三角形 $ABC$ を平面上におく． $▵ ABC$ を $1$ つの辺に関して $180 °$ 折り返すという操作を繰り返し行う．辺 $BC$ に関する折り返しを $T_{A} ，$ 辺 $CA$ に関する折り返しを $T_{B} ，$ 辺 $AB$ に関する折り返しを $T_{C}$ とする． $▵ ABC$ は，最初 $3$ 点 $A ， B ， C$ がそれぞれ平面上の $3$ 点 $O ， B^{'} ， C^{'}$ の上におかれているとする．

(1)　 $T_{A} ， T_{C} ， T_{B} ， T_{C} ， T_{A}$ の順に折り返し操作を施したときの頂点 $A$ の移り先を $P$ とする．また， $T_{A} ， T_{C} ， T_{B} ， T_{A} ， T_{C} ， T_{B} ， T_{A}$ の順に折り返し操作を施したときの頂点 $A$ の移り先を $Q$ とする． $θ = ∠ POQ$ とするとき， $\cos θ$ の値を求めよ．

(2)　整数 $k ， l$ に対して， $\vec{OR} = 3 k \vec{O B^{'}} + 3 l \vec{O C^{'}}$ により定められる点 $R$ は， $T_{A} ， T_{B} ， T_{C}$ の折り返し操作を組み合わせることにより，点 $A$ の移り先になることを示せ．

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易□　並□　難□

【５】　 $X ， Y ， Z$ と書かれたカードがそれぞれ $1$ 枚ずつある．この中から $1$ 枚のカードが選ばれたとき， $x y$ 平面上の点 $P$ を次の規則にしたがって移動する．

・ $X$ のカードが選ばれたとき， $P$ を $x$ 軸の正の方向に $1$ だけ移動する．
・ $Y$ のカードが選ばれたとき， $P$ を $y$ 軸の正の方向に $1$ だけ移動する．
・ $Z$ のカードが選ばれたとき， $P$ は移動せずそのままの位置にとどまる．

(1)　 $n$ を正の整数とする．最初，点 $P$ を原点の位置におく． $X$ のカードと $Y$ のカードの $2$ 枚から無作為に $1$ 枚を選び， $P$ を，上の規則にしたがって移動するという試行を $n$ 回繰り返す．

(ⅰ)　 $n$ 回の試行の後に $P$ が到達可能な点の個数を求めよ．

(ⅱ)　 $P$ が到達する確率が最大の点をすべて求めよ．

(2)　 $n$ を正の $3$ の倍数とする．最初，点 $P$ を原点の位置におく． $X$ のカード， $Y$ のカード， $Z$ のカードの $3$ 枚のカードから無作為に $1$ 枚を選び， $P$ を，上の規則にしたがって移動するという試行を $n$ 回繰り返す．

(ⅰ)　 $n$ 回の試行の後に $P$ が到達可能な点の個数を求めよ．

(ⅱ)　 $P$ が到達する確率が最大の点をすべて求めよ．

2009 一橋大学 前期MathJax

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