2009　横浜国立大学　前期MathJax

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする，辺$\mathrm{OA}$を$p:1-p\text{（}0<p<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$線分$\mathrm{PB}$を$q:1-q\text{（}0<q<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{QC}$を$r:1-r\text{（}0<r<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が定める平面と直線$\mathrm{OR}$が交わる点を$\mathrm{S}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}p\text{，}q\text{，}r$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}p\text{，}q\text{，}r$を用いて表せ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V_1\text{，}$四面体$\mathrm{OPQS}$の体積を$V_2$とする．${\displaystyle \frac{V_2}{V_1}}$を$p\text{，}q\text{，}r$を用いて表せ．

【２】　$xy$平面上に円$C:x^2+y^2=1$がある．$C$の外部の点$\mathrm{P}(s,t)\text{（}t\ne \pm 1\text{）}$から$C$へ引いた$2$つの接線と直線$y=1$との交点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{QR}$の長さを$s\text{，}t$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{QR}$の長さが$2$であるように$\mathrm{P}$が動くとき，$\mathrm{P}$の軌跡を求め，図示せよ．

【３】　赤，青，黄の$3$色を用いて，横一列に並んだ$n$個のマスを，隣り合うマスは異なる色になるように塗り分ける．ただし，使わない色があってもよい．両端のマスが同じ色になる場合の数を$a_n$とし，両端のマスが異なる色になる場合の数を$b_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a_3\text{，}{b}_3\text{，}{a}_4\text{，}{b}_4$を求めよ．

(2)　$a_n\text{，}{b}_n\text{（}n\geqq 3\text{）}$を$n$の式で表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　定積分

${\displaystyle {\int }_1^e}{x}^{{\displaystyle \frac{1}{n}}}\log xdx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を求めよ．

(2)　極限

$\underset{n\to \infty }{\lim }n({\displaystyle {\int }_1^e}{x}^{{\displaystyle \frac{1}{n}}}\log xdx-1)$

を求めよ．

【２】　$xy$平面上に曲線$C:y=x^2$がある．$C$上の点$\mathrm{P}(t,t^2)$を次の条件(＊)をみたすようにとる．

(＊)　$\mathrm{P}$以外の$C$上の異なる$2$点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$があり，そこでの$C$の法線がともに$\mathrm{P}$を通る．

　$\mathrm{Q}(\alpha ,{\alpha }^2)\text{，}\mathrm{R}(\beta ,{\beta }^2)\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$t$が(1)で求めた範囲を動くとき，線分$\mathrm{QR}$の中点$\mathrm{M}$が描く軌跡の方程式を求めよ．

(3)　$\beta$を$t$の式で表し，極限$\underset{t\to \infty }{\lim }t\beta$を求めよ．

【４】　$xy$平面上に円$C:x^2+y^2=1$がある．$C$の外部の点$\mathrm{P}(s,t)\text{（}s\ne \pm 1\text{）}$から$C$へ引いた$2$つの接線と直線$x=1$との交点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{QR}$の長さを$s\text{，}t$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{QR}$の長さが$1$であるように$\mathrm{P}$が動くとき，$\mathrm{P}$の軌跡を求め，図示せよ．

【５】　平面上に$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，$\mathrm{OA}=a\text{，}\mathrm{OB}=b\text{（}0<a<b\text{）}$で，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$は$0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたす．点$\mathrm{C}$を$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定める．また，$\mathrm{O}$から引いた半直線$\mathrm{OA}$上に，点$\mathrm{P}$を$\mathrm{OA}<\mathrm{OP}$となるようにとる．直線$\mathrm{PC}$と直線$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{AP}=x\text{，}{\mathrm{PQ}}^2=f(x)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を$x$と$a\text{，}b\text{，}\theta$を用いて表せ．

(2)　第$2$次導関数$f^{″}(x)$は，$x>0$のとき$f^{″}(x)>0$をみたすことを示せ．

(3)　$a=1\text{，}b=\sqrt{6}\text{，}\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}$のとき，$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めよ．