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2009-10301-0201
2009 横浜国立大学 後期
経済,経営学部
易□ 並□ 難□
【1】 t を正の実数とする. xy 平面上に 2 点 P ( t,t 2) , Q( -t, t2 +1 ) および放物線 C: y=x 2 がある.直線 PQ と C で囲まれる図形の面積を f ⁡(t ) とする.次の問いに答えよ.
(1) t が正の実数を動くとき, f⁡( t) の最小値を求めよ.
(2) Q を通り PQ に垂直な直線と C で囲まれる図形の面積を g ⁡(t ) とする. f⁡( t)<g ⁡(t ) となる t の範囲を求めよ.
2009-10301-0202
経済学部
【2】 数列 {a n} ,{ bn }, {cn } を a 1=3 , b1 =8 ,c 1=24 と関係式
{ an +1 =2⁢ an+ bn bn +1= 4⁢b n+c n cn+ 1= 8⁢c n ( n= 1, 2, 3, ⋯)
で定める.次の問いに答えよ.
(1) bn を n の式で表せ.
(2) an- 3- an は 7 で割り切れることを示し, an が 7 で割り切れるための n の条件を求めよ.
2009-10301-0203
経済,経営,工学部共通問題
工学部は【2】
【3】 次の問いに答えよ.
(1) x2- y2= 2009 をみたす正の整数 x , y の組をすべて求めよ.
(2) x2+ y2= 41 をみたす正の整数 x , y の組をすべて求めよ.
(3) 式 ( a⁢c- b⁢d) 2+ (a⁢ d+b⁢ c)2 を因数分解せよ.
(4) n を正の整数とする. x2+ y2= 2009n をみたす正の整数 x , y が存在することを示せ.
2009-10301-0204
【4】 t を 0 でない実数とし, xy 平面上の円 (x-t )2 +( y-t 2) 2= t4 を C とする.次の問いに答えよ.
(1) いかなる t に関しても C が接するような定円がただ 1 つ存在することを示せ.
(2) (1)の定円と C の接点の座標を求めよ.
2009-10301-0205
工学部
【1】 定積分 I n= ∫0 π 4 ⁡tan n⁡x ⁢dx ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ ) について,次の問いに答えよ.
(1) I1 , I2 を求めよ.
(2) In+ 2 を I n で表せ.
(3) I6 を求めよ.
2009-10301-0206
【3】 xy 平面上の領域 x≧ 0, y≧0 で,方程式 ( x+y) ( x2+ y2 )= 4⁢x ⁢y が表す曲線を C とする.正の数 t に対して,直線 x +y=2 ⁢t が C と異なる 2 点 Q , R で交わるとき,次の問いに答えよ.
(1) C を極座標 (r ,θ) に関する方程式で表し, r のとり得る値の最大値を求めよ.
(2) Q ,R の座標を t を用いて表せ.
(3) 線分 QR の長さが最大となる t の値を求めよ.
2009-10301-0207
【4】 放物線 y= x2 上に 2 点 P (t, t2 ), Q (t +1, (t+ 1)2 ) をとる.次の問いに答えよ.
(1) t がすべての実数を動くとき,直線 PQ が通過する領域を求めよ.
(2) t が -1≦ t≦0 の範囲を動くとき,線分 PQ が通過する領域を求め,図示せよ.
2009-10301-0208
【5】 x>0 で定義された関数
f⁡(x )= (1 + ax ) ⁢ (1 + 1x ) x
を考える.ただし, a は定数である.次の問いに答えよ.
(1) a=0 のとき, f⁡( x) は増加関数であることを示せ.
(2) a≧ 12 のとき, f⁡(x ) は減少関数であることを示せ.