2009　新潟大学　前期MathJax

【１】　$2^a=x-5\text{，}{2}^b=x-6$のとき，次の問いに答えよ，

(1)　$a+b$を$x$を用いて表せ．

(2)　$a+b=f(x)$とするとき，不等式$f(x)<{\log }_{4}36$を解け．

【２】　定点$\mathrm{A}(0,2)$と曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(x,f(x))$がある．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$の距離を$\mathrm{AP}$と表すとき，すべての$x$に対して，$\mathrm{AP}=f(x)$が成り立っているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$を求めよ．

(2)　$a>0$とする．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{Q}(a,f(a))$における接線が原点を通るときの$a$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$a$の値について，直線$\mathrm{AQ}$と曲線$y=f(x)$とで囲まれる図形の面積を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$は

$a_1={\displaystyle \frac{1}{6}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}}=2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしている．また数列$\{b_n\}$は

$b_1=8a_1{a}_2\text{，}{b}_{n+1}-b_n=8a_{n+1}{a}_{n+2}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしている．このとき次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$n$を用いて表せ．

【４】　$\mathrm{AB}=n\text{，}\mathrm{BC}=n+1\text{，}\mathrm{CA}=n+2$である三角形$\mathrm{ABC}$において，$\tan C={\displaystyle \frac{4}{3}}$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\sin C\text{，}\cos C$の値を求めよ．

(2)　$n$の値を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積と内接円の半径を求めよ．

【１】　$a$を定数，$e$を自然対数の底とする．曲線$C:y=x{e}^{-x}$と直線$l:y=ax$は，$x\geqq 0$の範囲で，原点$\mathrm{O}$以外の点$\mathrm{P}(p,p{e}^{-p})$で交わる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線の傾きを$h(a)$とするとき，$h\left(a\right)$が最小となる$a$の値と，そのときの$h\left(a\right)$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$a$の値について，$0\leqq x\leqq p$の範囲で，曲線$C$と直線$\mathrm{OP}$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$a$は実数で，行列$A=\left(\begin{array}{cc}8& -10\\ 4& -6\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$とする．$B$は$2$次の正方行列で，$AB=BA\text{，}{P}^{-1}BP=\left(\begin{array}{cc}-1& a\\ 0& 8\end{array}\right)$を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　行列$P$の逆行列$P^{-1}$と行列$P^{-1}AP$を求めよ．

(2)　$a$の値と，行列$B$を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して，行列${(A+B)}^n$を求めよ．

【３】　$-\pi <\theta <\pi$とするとき，次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\text{，}{a}_{n+1}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1+a_n}{2}}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_n=\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2^n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$2^n\times \sin {\displaystyle \frac{\theta }{2^n}}\times \cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\times \cos {\displaystyle \frac{\theta }{2^2}}\times \cos {\displaystyle \frac{\theta }{2^3}}\times \cdots \times \cos {\displaystyle \frac{\theta }{2^n}}=\sin \theta \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つことを証明せよ．

(3)　$b_n=a_1\times a_2\times a_3\times \cdots \times a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．$\theta \ne 0$のとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を$\theta$を用いて表せ．

【４】　$n$を$3$以上の整数とし，$1$から$n$までのすべて異なる整数が$1$つずつ書いてある$n$枚のカードをよく切って横$1$列に並べ，左から$1$番目のカードに書いてある数字を$x$とする．

　左から$3$番目までのカードに書いてある数字の中で$x$が最大のとき，$x$が得点として与えられ，それ以外の得点は$0$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　得点が$x$である確率を$p_x$とするとき，$p_x$を$n$と$x$を用いて表せ．

(2)　得点が$0$である確率を$p_0$とするとき，$p_0$の値を求めよ．

(3)　得点の期待値を$n$を用いて表せ．

【５】　点$\mathrm{A}(0,a)$を中心とする円と，曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$は$1$点$\mathrm{B}(b,{\displaystyle \frac{1}{b}})$のみを共有する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$を$b$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{A}$が$y$軸上を動くとき，線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{M}$の軌跡を求めよ．