2009　金沢大学　前期　人間社会学域MathJax

2009-10361-0101

2009　金沢大学　前期　人間社会学域

易□　並□　難□

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　 $x > 0$ のとき，不等式 $\frac{2}{3} (x + \frac{1}{x^{2}}) ≧ 2^{\frac{1}{3}}$ を示せ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．

(2)　数列 ${a_{n}}$ を

$a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = \frac{2}{3} (a_{n} + \frac{1}{{a_{n}}^{2}}) （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

によって定める．

(ⅰ)　 $n ≧ 1$ のとき

$a_{n} > a_{n + 1} > 2^{\frac{1}{3}}$

を示せ．

(ⅱ)　 $n ≧ 2$ のとき

$a_{n + 1} - \frac{2}{{a_{n}}^{2}} < \frac{2}{3} (a_{n} - \frac{2}{{a_{n - 1}}^{2}})$

を示せ．

(ⅲ)　 $n ≧ 1$ のとき

$0 < a_{n + 1} - \frac{2}{{a_{n}}^{2}} ≦ {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

を示せ．

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易□　並□　難□

【２】　実数 $t$ と $0 ≦ θ < 2 π$ に対して， $2$ 次関数 $f (x) ， g (x)$ を

$f (x) = x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} t^{2}$
$g (x) = x^{2} + (t - \frac{1}{2}) x - \frac{1}{2} \sin^{2} θ \cos^{2} θ (\sin^{4} θ + \cos^{4} θ) + \frac{1}{16}$

とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　 $\frac{1}{2} ， 2 \sin^{2} θ \cos^{2} θ ， \sin^{4} θ + \cos^{4} θ$ の大小を比べよ．また，この $3$ つの値が等しくなる $θ$ をすべて求めよ．

(2)　 $θ$ は(1)で求めた値とは異なる定数とする．

(ⅰ)　 $2$ 次方程式 $g (x) = 0$ の判別式を $D (t)$ とするとき， $2$ 次方程式 $D (t) = 0$ の解 $α ， β （ α < β ）$ を求め，

$\int_{α}^{β} D (t) d t = - \frac{\cos^{6} 2 θ}{6}$

となることを示せ．

(ⅱ)　 $2$ つの $2$ 次方程式 $f (x) = 0 ， g (x) = 0$ の一方が異なる $2$ つの実数解をもち，他方が虚数解をもつための $t$ の範囲を求めよ．

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易□　並□　難□

【３】　 $x y$ 平面において，点 $A (a, 0)$ を中心とする半径 $r$ の円を $C$ とする．ただし $0 < r ≦ a$ とする．円 $C$ の周上に， $y$ 座標が正である点 $P$ と，点 $E (a + r, 0)$ をとる．さらに，点 $P$ における円 $C$ の接線と $y$ 軸との交点を $Q ， 2$ 点 $E ， P$ を通る直線と $y$ 軸との交点を $R ， ∠ AEP$ を $θ$ とする．このとき， $3$ 点 $P ， Q ， R$ を頂点とする $▵ PQR$ について，次の問いに答えよ．

(1)　 $▵ PQR$ は辺 $PR$ を底辺とする二等辺三角形であることを示せ．次に，これが正三角形となる場合の， $θ$ の値を求めよ．

(2)　 $▵ PQR$ が正三角形となり，さらに頂点の $1$ つが原点と一致する場合の， $a$ と $r$ の関係式を求めよ．

(3)　 $▵ PQR$ が正三角形となり，さらにその外接円の半径が円 $C$ の半径 $r$ と等しくなる場合の， $a$ と $r$ の関係式を求めよ．

2009 金沢大学 前期 人間社会学域MathJax

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