2009　金沢大学　前期　理工，医薬保健学域MathJax

【１】　$\alpha$と$\beta$は定数で，$2$つの数列$\{x_n\}$と$\{y_n\}$は次の関係式を満たすとする．

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{x}_k=4y_n-\alpha \\ {\displaystyle \sum _{k=1}^n}{y}_k=9x_n-\beta \end{array}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　次の問いに答えよ．

(1)　$x_1$と$y_1$を，$\alpha$と$\beta$だけの式で表せ．

(2)　$2$次の正方行列$A$で$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$がすべての自然数$n$について成り立つものを求めよ．

(3)　$\alpha =14\text{，}\beta =-21$のとき，$\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)$を求め，さらに$\{x_n\}$と$\{y_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　関数$f(t)$は区間$[-1,1]$で連続で，偶関数，すなわち$f(-t)=f(t)$であるとする．次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_{-1}^0}f(t)dx={\displaystyle {\int }_0^1}f(t)dt$を示せ．

(2)　関数$F(x)=-{\displaystyle {\int }_{-1}^1}|t-x|f(t)dx\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$について

• $F^{\prime }(x)=-{\displaystyle {\int }_{-1}^x}f(t)dx+{\displaystyle {\int }_x^1}f(t)dt$
• $F^{″}(x)=-2f(x)$

を示せ．

(3)　関数$f(x)$は，さらに等式

$f(x)=-{\displaystyle {\int }_{-1}^1}|t-x|f(t)dt\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$

を満たすとする．このとき，関数$g(x)=f(x)-f(0)\cos \sqrt{2}x$について

• $g(0)=g^{\prime }(0)=0$
• ${({\displaystyle \frac{1}{2}}{\{g^{\prime }(x)\}}^2+{g(x)}^2)}^{\prime }=0$

が成り立つことを示し，$f(x)=f(0)\cos \sqrt{2}x$を導け．

【３】　$0<r<1$とし，点$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面において，$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}(2,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2r)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$と，互いに相似な$3$つの二等辺三角形${\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{AB}\text{，}{\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{OB}\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{OA}$を考える．ここで，辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OA}$はそれぞれの二等辺三角形の底辺であり，点${\mathrm{O}}^{\prime }$は直線$\mathrm{AB}$に対して点$\mathrm{O}$と反対側に，点${\mathrm{A}}^{\prime }$は第$2$象限に，点${\mathrm{B}}^{\prime }$は第$4$象限に，それぞれあるとする．$t=\tan \angle {\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{OB}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　点${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }$の座標を，$r\text{，}t$の式で表せ．

(2)　直線$\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$および直線$\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }$の方程式を$ax+by=c$の形で求めよ．

(3)　$2$直線$\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }$と$\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }$の交点を$\mathrm{M}(x_0,y_0)$とする．比${\displaystyle \frac{y_0}{x_0}}$を$r\text{，}t$の式で表せ．

(4)　点${\mathrm{O}}^{\prime }$の座標を$r\text{，}t$の式で表し，$3$直線$\mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }$が$1$点で交わることを示せ．

【４】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$人が次のようなゲームを行う．第三者（$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$以外の中立的立場の者）がさいころを投げ，$1$の目が出たら$\mathrm{A}$だけに$3$点，$3$の目が出たら$\mathrm{A}$だけに$2$点を与え，$2$か$4$の目が出たら$\mathrm{B}$だけに$2$点を与える．その他の目が出たら，$\mathrm{A}$にも$\mathrm{B}$にも点を与えない．この試行を何回かくり返し，先に得点の合計が$4$点以上になった方を勝ちとする．

　$1$回目の試行で$\mathrm{B}$が勝つ確率を$p_1$とする．$n\geqq 2$のとき，$n-1$回目までの試行では勝負はつかず，$n$回目の試行で$\mathrm{B}$が勝つ確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3\text{，}{p}_4$を求めよ．また一般項$p_n$を求めよ．

(2)　$q_n=9p_{n+2}-6p_{n+1}+p_n$とするとき，${\displaystyle \sum _{n=1}^k}{q}_n$を求めよ．また${\displaystyle \sum _{n=1}^k}{p}_n$を求めよ．

(3)　$a={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{p}_n$とするとき

$\underset{k\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{k}}\log |{\displaystyle \sum _{n=1}^k}{p}_n-a|$

を求めよ．ただし，必要ならば

• $\underset{k\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{k^2}{3^k}}=0\text{，}$
• $\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$

を用いてよい．