2009　金沢大学　後期理工学域数物科学類MathJax

【１】　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\log (x+1)$とする．曲線$C_1\text{：}y=f(x)\text{（}x\geqq 0\text{）}$と曲線$C_2$は，直線$y=\log 3$に関して対称であるとする．次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C_2$の方程式を$y=g(x)$とするとき，$g(x)+f(x)$および$g(x)-f(x)$を求めよ．

(2)　曲線$C_1\text{，}{C}_2$と$y$軸で囲まれた図形$D$の面積$S$を求めよ．

(3)　(2)の図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．

【２】　$a$を正定数とする．関数$f(x)$は閉区間$[0,1]$で連続で，開区間$(0,1)$で微分可能であり，条件

$\{\begin{array}{ll}f(0)=a& \\ f(x)\leqq a& \text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}\\ f^{\prime }(x)\geqq -a& \text{（}0<x<1\text{）}\end{array}$

を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq 1$において，$f(x)\geqq a(1-x)$が成り立つことを示せ．

(2)　$x\geqq 1$において，${\left({\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}\right)}^{\frac{1}{x^2}}\geqq e^{-{\displaystyle \frac{1}{x}}}$が成り立つことを示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{({\displaystyle {\int }_0^1}{|f(x)|}^{n}dx)}^{\frac{1}{n}}$を求めよ．

【３】　$m\text{，}n$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$は$x\geqq e$において単調に減少することを示せ．

(2)　$n>m\geqq 3$のとき，$m^n>n^m$が成り立つことを示せ．

(3)　$2^n\leqq n^2$を満たす$n$をすべて求めよ．

(4)　$m^n=n^m$を満たす自然数の組$(m,n)$をすべて求めよ．

【４】　放物線$y=-x^2+1$を$C$とする．$p$を$0<p<1$を満たす実数とし，$C$の点$\mathrm{P}(p,-p^2+1)$における接線と$x$軸，$y$軸との交点を，それぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．また，点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PS}$とする．さらに，点$\mathrm{P}$を通る直線$l$が$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$で$C$と交わり，$\angle \mathrm{APS}=\angle \mathrm{BPQ}$が成り立つとする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$l$の傾き$\alpha$を$p$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の$y$座標が正となるための$p$の条件を求めよ．

(3)　$p$が(2)の条件を満たしながら動くとする．点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QR}$とする．四角形$\mathrm{PQRS}$の面積の最大値と，そのときの$p$の値を求めよ．