2009　信州大学　前期　教育学部MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$が

$3\overrightarrow{\mathrm{PA}}+2\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$

を満たしている．直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とし，$▵\mathrm{PBC}\text{，}▵\mathrm{PCA}\text{，}▵\mathrm{PAB}$の面積をそれぞれ$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{BC}$と$\mathrm{DC}$の長さの比$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ．

(2)　$S_1:S_2:S_3$を求めよ．

【２】　$x$は$0<x<{\displaystyle \frac{9}{4}}$の範囲を動くとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　不等式${\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{9-4x}}\geqq 1$が成り立つことを示せ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{2}{9-4x}}\geqq k$を満たす$k$の最大値を求めよ．

【３】　$x$の方程式

${(x-\cos \theta +\sqrt{3}\sin \theta )}^2+4{\sin }^2\theta -2=0\cdots \text{①}$

について，次の問に答えよ．ただし，$0°\leqq \theta <180°$とする．

(1)　$\text{①}$が実数解をもつとき，$\theta$の範囲を求めよ．

(2)　(1)のとき，実数解を$\alpha \text{，}\beta$とする．$\theta$を(1)の範囲で変化させるとき，${\alpha }^2+{\beta }^2$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　$2$つの放物線

• $C_1:y=2x^2+a\text{，}a>0$
• $C_2:y=-x^2-1$

について，次の問に答えよ．

(1)　放物線$C_1\text{，}{C}_2$の$2$本の共通接線の方程式を求めよ．

(2)　$2$本の共通接線と$C_1$で囲まれる部分の面積を$S_1\text{，}2$本の共通接線と$C_2$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2$を求めよ．

【２】　正の定数$m$に対して，放物線$y=m{x}^2$を$C$とする．$C$上の異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$における$C$の接線が点$\mathrm{P}$で直交しているとする．$C$と直線$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積を$S_1\text{，}▵\mathrm{APB}$の面積を$S_2$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$S_1:S_2$を求めよ．

(2)　$S_1$の最小値を求めよ．

【１】　$a>0$とし，$f(x)=a^{2}x{e}^{-ax}$とする．次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$の極大値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(2)　$f(x)$が極大となる$x$を$x=p$とし，曲線$C:y=f(x)$上の点$(p,f(p))$を$\mathrm{P}\text{，}$変曲点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{OP}\text{，}\mathrm{OQ}$および$C$で囲まれる図形の面積を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

【２】　$\alpha >0\text{，}\beta >0$とする．$2$つの曲線$y=\alpha x^2\text{，}x=\beta y^2$の交点のうち，原点でないほうを$\mathrm{P}$とする．次の問に答えよ．

(1)　$2$つの曲線によって囲まれる図形の面積を求めよ．

(2)　(1)の面積が定数$k$に等しいように$\alpha \text{，}\beta$が変化するとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を図示せよ．

専攻別数学選択方法

学校教育教員養成課程　教育実践科学，社会科学教育専攻　数学$\text{①}$　理数科学専攻　数学$\text{②}$のみか，数学$\text{③}$のみか，数学$\text{②}$と$\text{③}$から選択　生活科学専攻　数学$\text{①}$のみか，数学$\text{②}$のみか，数学$\text{③}$のみか，数学$\text{②}$と$\text{③}$から選択

特別支援学校教員養成課程　数学$\text{①}$のみか，数学$\text{②}$と$\text{③}$から選択

教育カウンセリング課程　心理臨床専攻　数学$\text{②}$と$\text{③}$