2009　信州大学　前期　理，医学部MathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$を$a:b\text{，}3:5\text{，}b:3a$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とするとき，$▵\mathrm{PQR}$と$▵\mathrm{ABC}$の面積比が$3:10$であるとする．

(1)　$a$と$b$の関係式を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$は$2$以上の自然数で最大公約数が$1$であるとする．このとき，$a$と$b$を求めよ．

【２】　数列$\left\{a_n\right\}\text{，}\left\{b_n\right\}$は${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k=n^2\text{，}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k=2^n$を満たすものとする．このとき，次の和を求めよ．

(1)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(a_k)}^2$

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(b_k)}^2$

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k{b}_k$

【３】　$a$を定数とする．方程式

$|x^3-3x^2+2|-a(x+1)-2=0$

の異なる実数解の個数を求めよ．

【４】　右の図のように区切られた$6$つの個室に，客が次のように順次入っていくものとする．

• (1)　$1$人目の客が各部屋に入る確率はすべて等しい．
• (2)　$2$人目以降の客は先客のいない部屋に入り，各部屋に入る確率は先客がいる最も近い部屋との間の壁の数に比例する．ただし，例えば，右の図の$\mathrm{A}$室と$\mathrm{B}$室の間の壁の数は$2\text{，}\mathrm{A}$室と$\mathrm{C}$室の間の壁の数は$3$である．

　$4$人目の客が来たとき，先客の$3$人が全員横一列に並んだ部屋に入っている確率を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　　$\tan 75°$の値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(2)　不定積分

${\displaystyle \int }(x^2\log x+x{e}^x)dx$

を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(3)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$と自然数$n$に対して$A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$とおく．このとき，$a_n+b_n$および$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n\text{，}{d}_n$を求めよ．

【６】　$f(x)$を$3$次の多項式とし，$F(x)=f(\sin x)+f(\cos x)$とおく．条件

$F(0)=0\text{，}F(\pi )=-4\text{，}{F}^{\prime }(\pi )=2\text{，}{\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx=0$

を満たすような$f(x)$を求めよ．

【７】　曲線$y=\sqrt{2x-x^2}\text{（}1<x<2\text{）}$の上の点$\mathrm{P}$における接線が，$x$軸と交わる点を$\mathrm{A}\text{，}y$軸と交わる点を$\mathrm{B}$とする．また，原点を$\mathrm{O}$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$がこの曲線上を動くとき，線分$\mathrm{AB}$の長さの$2$乗の最小値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$がこの曲線上を動くとき，$▵\mathrm{OAB}$の面積の最小値を求めよ．