2009　信州大学　前期　工学部MathJax

【１】　

(1)　$\cos 2x=\sin x+1$を解け．ただし，$-\pi \leqq x\leqq \pi$とする．

【１】　

(2)　${({\log }_{10}x)}^{{\log }_{10}x}=x^2$を解け．ただし，$x>1$とする．$2$つある対数は，いずれも$10$を底とする$x$の対数である．

【１】　

(3)　$m\text{，}n$は$0$以上$9$以下の異なる整数とする．循環小数$0.\stackrel{\cdot }{m}\stackrel{\cdot }{n}$と$0.\stackrel{\cdot }{n}\stackrel{\cdot }{m}$が$5\times 0.\stackrel{\cdot }{m}\stackrel{\cdot }{n}=0.\stackrel{\cdot }{n}\stackrel{\cdot }{m}+{\displaystyle \frac{200}{99}}$を満たすとき，$m\text{，}n$の値を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$において$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$とおく．$S_n=2a_n-n(n+1)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$のとき，一般項$a_n$を求めよ．

【３】　$a\text{，}b$は正の数とする．すべての$x>0$に対して${\displaystyle \frac{2x^2+(3-a)x-2a}{x^3}}\leqq b$が成り立つとき，$a\text{，}b$の関係を求めよ．

【４】　$0\leqq a\leqq 1$とする．曲線$y=x^3-(a+1)x^2+(a+1)x$と直線$y=x$で囲まれた部分の面積$S(a)$について次の問いに答えよ．

(1)　$S(a)$を$a$で表せ．

(2)　$S(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．