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2009-10421-0401
2009 信州大学 後期 理学部数IAIIB
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) 関数 f⁡ (x)= x3- 3⁢x 2+4 の値が正となる x の範囲を求めよ.
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(2) 3⁢( i+1) ⁢x2 +4⁢( i-2) ⁢x+i -3=0 を満たす実数 x の値を求めよ.ただし, i は虚数単位である.
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【2】 方程式 cos⁡ 2⁢x+ a⁢sin⁡ x+b= 0 が, 0≦x <2⁢π の範囲に異なる 4 つの実数解をもつとする.
(1) 実数 a ,b の満たす条件を求めよ.
(2) (1)の条件を満たす点 (a, b) 全体の表す領域を図示せよ.
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【3】 袋が 3 つあり,どの袋にも,長さが 10cm , 20cm ,30 cm, 40cm の棒が 1 本ずつ入っている.このとき,次の問いに答えよ.
(1) それぞれの袋から 1 本ずつ取り出した 3 本の棒を 3 辺としてつくることができる三角形のうち,合同でないものは全部で何通りあるか.また,その中で鈍角三角形は何通りあるか.
(2) それぞれの袋から無作為に 1 本ずつ取り出す試行について,取り出した 3 本の棒を用いて三角形ができる確率を求めよ.
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【4】 空間に 5 点
A(1 ,0,0 ), B(0 ,1,0 ), C(- 1,0, 0), D(0 ,-1, 0), E(0 ,0,1 )
をとる.また線分 AB , CB ,BE を t: (1-t ) に内分する点を,それぞれ P , Q ,R とする. ▵PQR が正三角形になるとき,次の問いに答えよ.
(1) t の値を求めよ.
(2) 線分 EA ,DE を t: (1-t ) に内分する点を,それぞれ S ,T とする.このとき
t⁢PS →=( 1-t) ⁢QT→
が成り立つことを示せ.