2009　信州大学　後期繊維学部MathJax

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の第$n$項までの部分和$S_n$を求めよ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2^{n+1}-3^n}{S_n-2n}}$を求めよ．

(1)　$r({\displaystyle \frac{1}{\tan {\displaystyle \frac{\beta }{2}}}}+{\displaystyle \frac{1}{\tan {\displaystyle \frac{\gamma }{2}}}})=a$

(2)　$r=4R\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\sin {\displaystyle \frac{\beta }{2}}\sin {\displaystyle \frac{\gamma }{2}}$

(3)　$0<\sin {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}\sin {\displaystyle \frac{\beta }{2}}\sin {\displaystyle \frac{\gamma }{2}}<{\displaystyle \frac{1}{4}}$

　気温と穀物収穫量など，自然現象や社会現象を科学的に取り扱う場合，それらの量どうしの関係を数式で近似して表現することがよく行われる．例えばある量$x$と$y$の関係を調べたところ，下の表のようになった．この$x$と$y$の関係を表す式を求めたい．

(1)　$x_n$と$x_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}8\text{）}$の間の$x$に対する$y$の値の変化率$g_n$を，$g_n={\displaystyle \frac{(y_{n+1}-y_n)}{(x_{n-1}-x_n)}}={\displaystyle \frac{(y_{n+1}-y_n)}{4}}$とする．$g_n$を計算し，解答欄に記入せよ．

(2)　同様にして，$x$に対する$g$の変化率$h_n\text{，}x$に対する$h$の変化率$i_n\text{，}x$に対する$i$の変化率$j_n$を，$h_n={\displaystyle \frac{(g_{n+1}-g_n)}{4}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}7\text{），}{i}_n={\displaystyle \frac{(h_{n+1}-h_n)}{4}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}6\text{），}{j}_n={\displaystyle \frac{(j_{n+1}-j_n)}{4}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}5\text{）}$を用いて計算し，解答欄に記入せよ．

(3)　(1)，(2)の結果をもとに，$h$を$x$の関数としたとき，$h$は$x$の何次関数と考えることができるか．同様に考え，$g$は$x$の何次関数になるか．最終的に，$y$は$x$の何次関数で近似できると推測できるか．それぞれ解答欄に記入せよ．

(4)　以上をもとにして，$y$はどのような$x$の関数式で表せるか．解答欄に記入せよ．