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2009 名古屋工業大学 後期

易□ 並□ 難□

【1】 連立不等式

{ x24 +y2 1 y 1 4 ( x2-1 )

の表す領域 D について,次の問いに答えよ.

(1)  D の面積 S を求めよ.

(2)  D x 軸のまわりに 1 回転して得られる立体の体積 V を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【2】  2 つの直線

l1 x-y -1=0

l2 2 x-3 y+1= 0

を考える.

 行列 A =( ab cd ) の定める 1 次変換 f は直線 l 1 上の各点 l 2 上に移し,直線 l 2 上の各点を l 1 上に移す.

(1) 行列 A を求めよ.

(2)  f は原点を通るある直線 l 上の各点を l 上に移している.このような直線をすべて求めよ.

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易□ 並□ 難□

【3】 以下の問いに答えよ.

(1)  x>1 に対して次の不等式を示せ.

2( x-1) x+1 <logx < 12 ( x- 1x )

(2) (1)を利用して log 8>2 を示せ.

(3) (1)を利用して log 4 2 の大小を判定せよ.

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【4】 以下の問に答えよ.

(1)  k を定数とするとき, x についての方程式

sin3 x-k tanx =0 ( 0<x< π 2)

の異なる実数解の個数 N ( k) を求めよ.

(2)  k<0 N (k )=1 となる k に対して(1)の方程式の解を α としたとき cos 3α の値を求めよ.

(3) (2)の k に対して, 2 つの曲線 y =tanx ( 0x< π 2) y= 1k sin3 x で囲まれた部分の面積 S を求めよ.

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