2009 京都大学 前期

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2009 京都大学 前期

文系

問2と合わせて配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問にそれぞれ答えよ.

問1  xyz 空間上の 2 A (-3 ,-1, 1) B (-1 ,0,0 ) を通る直線 l に点 C (2, 3,3 ) から下ろした垂線の足 H の座標を求めよ.

2009 京都大学 前期

文系・理系甲共通問題

問1と合わせて配点30点

易□ 並□ 難□

【1】 次の各問にそれぞれ答えよ.

問2 白球と赤球の入った袋から 2 個の球を同時に取り出すゲームを考える.取り出した 2 球がともに白球ならば「成功」でゲームを終了し,そうでないときは「失敗」とし,取り出した 2 球に赤球を 1 個加えた 3 個の球を袋にもどしてゲームを続けるものとする.最初に白球が 2 個,赤球が 1 個袋に入っていたとき. n-1 回まで失敗し n 回目に成功する確率を求めよ.ただし n 2 とする.

2009-10541-0103(解答は川村先生サイトで)

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文系

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】 整式 f (x) と実数 C

0x f (y) dy+ 01 ( x+y) 2 f(y )d y=x 2+C

をみたすとき,この f (x) C を求めよ.

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文系・理系甲共通問題

配点30点

易□ 並□ 難□

【3】  x y x 1 y 1 をみたす正の数で,不等式

logx y+log yx >2+ (logx 2) (log y2 )

をみたすとする.このとき x y の組 (x ,y) の範囲を座標平面上に図示せよ.

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文系

配点30点

理系甲【2】の類題

易□ 並□ 難□

【4】 平面上で,鋭角三角形 OAB を辺 OB に関して折り返して得られる三角形を OBC OBC を辺 OC に関して折り返して得られる三角形を OCD OCD を辺 OD に関して折り返して得られる三角形を ODE とする. OAB OBE の面積比が 2: 3 のとき, sinAOB の値を求めよ.

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文系・理系甲共通

配点は文系30点,理系甲35点

易□ 並□ 難□

【5】  p を素数, n を正の整数とするとき, ( pn) ! p で何回割り切れるか.

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理系甲

問2と合わせて配点30点

易□ 並□ 難□

【1】次の各問にそれぞれ答えよ.

問1 正の数 a に対して xy z 空間で O (0, 0,0 ) A( 3,0, 0) B (3, 2,0) C (0, 2,0) D (0, 0,a) E (3, 0,a) F (3, 2,a) G (0, 2,a ) を頂点とする直方体 OABC DEFG を考える. D を通り, 3 つの頂点 O E G を含む平面に垂直な直線が辺 BC (両端を含む)と点 P で交わるとき, a の値と P の座標を求めよ.

2009 京都大学 前期

理系甲

配点35点

文系【4】の類題

易□ 並□ 難□

【2】 平面上に三角形 O A1 A2 と点 A 3 A4 A5 を, n=1 2 3 に対して O An An+ 1 O An+ 1A n+2 が辺 O An +1 に関して対称になるようにとる. O A2 A5 の面積が O A1 A2 の面積の正の整数倍となるとき, A 1O A2 の値を求めよ.

2009 京都大学 前期

理系甲

配点35点

易□ 並□ 難□

【4】  A=( a b cd ) a d-b c=1 みたす行列( a b c d は実数)とし,正の整数 n に対して

( x1 y1 ) =( 1 0 ) ( xn+ 1 y n+1 ) =A ( xn yn )

により xn yn を定める. x2 2+ y2 2= x32 +y 32 =1 ならばすべての n に対して xn2 +y n2 =1 であることを示せ.

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理系甲

配点35点

理系乙【5】の類題

易□ 並□ 難□

【6】 極方程式 r= 1+cos θ 0θ π で表される曲線の長さを求めよ.

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理系乙

配点30点

理系甲【1】問1の類題

易□ 並□ 難□

【1】  xyz 空間で O (0, 0,0 ) A( 3,0, 0) B (3 ,2,0 ) C( 0,2, 0) D (0, 0,4 ) E( 3,0, 4) F (3, 2,4 ) G( 0,2, 4) を頂点とする直方体 OABC DEFG を考える.辺 AE s: 1-s に内分する点を P CG t: 1-t に内分する点を Q とおく.ただし 0< s<1 0 <t<1 とする. D を通り, O P Q を含む平面に垂直な直線が線分 AC (両端を含む)と交わるような s t のみたす条件を求めよ.

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理系乙

配点35点

易□ 並□ 難□

【2】 平面上の鋭角三角形 ABC の内部(辺や頂点は含まない)に点 P をとり, A B C P を通る円の中心, B C A P を通る円の中心, C A B P を通る円の中心とする.このとき A B C A B C が同一円周上にあるための必要十分条件は P ABC の内心に一致することであることを示せ.

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理系乙

配点35点

易□ 並□ 難□

【3】  n 枚のカードを積んだ山があり,各カードには上から順番に 1 から n まで番号がつけられている.ただし n 2 とする.このカードの山に対して次の試行を繰り返す. 1 回の試行では,一番上のカードを取り,山の一番上にもどすか,あるいはいずれかのカードの下に入れるという操作を行う.これら n 通りの操作はすべて同じ確率であるとする. n 回の試行を終えたとき,最初一番下にあったカード(番号 n )が山の一番上に来ている確率を求めよ.

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理系乙

配点35点

易□ 並□ 難□

【4】  A=( a b cd ) a d-b c=1 をみたす行列とする( a b c d は実数).自然数 n に対して平面上の点 P n( xn ,yn )

( xn y n )=A n( 1 0 )

により定める. OP 1 O P2 の長さが 1 のとき,すべての n に対して O Pn の長さが 1 であることを示せ.ここで O は原点である.

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理系乙

配点30点

理系甲【6】の類題

易□ 並□ 難□

【5】  xy 平面上で原点を極, x 軸の正の部分を始線とする極座標に関して,極方程式 r= 2+cos θ 0θ π により表される曲線を C とする. C x 軸とで囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転して得られる立体の体積を求めよ.

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理系乙

配点35点

易□ 並□ 難□

【6】  a b を互いに素,すなわち 1 以外の公約数をもたない正の整数とし,さらに a は奇数とする.正の整数 n に対して整数 a n b n ( a+b 2 )n =an +bn 2 をみたすように定めるとき,次の(1),(2)を示せ.ただし 2 が無理数であることは証明なしに用いてよい.

(1)  a2 は奇数であり, a2 b 2 は互いに素である.

(2) すべての n に対して, an は奇数であり, an b n は互いに素である.