2009　京都大学　前期MathJax

【１】　次の各問にそれぞれ答えよ．

問１　$xyz$空間上の$2$点$\mathrm{A}(-3,-1,1)\text{，}\mathrm{B}(-1,0,0)$を通る直線$l$に点$\mathrm{C}(2,3,3)$から下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

【１】　次の各問にそれぞれ答えよ．

問２　白球と赤球の入った袋から$2$個の球を同時に取り出すゲームを考える．取り出した$2$球がともに白球ならば「成功」でゲームを終了し，そうでないときは「失敗」とし，取り出した$2$球に赤球を$1$個加えた$3$個の球を袋にもどしてゲームを続けるものとする．最初に白球が$2$個，赤球が$1$個袋に入っていたとき．$n-1$回まで失敗し$n$回目に成功する確率を求めよ．ただし$n\geqq 2$とする．

【２】　整式$f(x)$と実数$C$が

${\displaystyle {\int }_0^x}f(y)dy+{\displaystyle {\int }_0^1}{(x+y)}^{2}f(y)dy=x^2+C$

をみたすとき，この$f(x)$と$C$を求めよ．

【３】　$x\text{，}y$は$x\ne 1\text{，}y\ne 1$をみたす正の数で，不等式

${\log }_{x}y+{\log }_{y}x>2+({\log }_{x}2)({\log }_{y}2)$

をみたすとする．このとき$x\text{，}y$の組$(x,y)$の範囲を座標平面上に図示せよ．

【４】　平面上で，鋭角三角形$▵\mathrm{OAB}$を辺$\mathrm{OB}$に関して折り返して得られる三角形を$▵\mathrm{OBC}\text{，}▵\mathrm{OBC}$を辺$\mathrm{OC}$に関して折り返して得られる三角形を$▵\mathrm{OCD}\text{，}▵\mathrm{OCD}$を辺$\mathrm{OD}$に関して折り返して得られる三角形を$▵\mathrm{ODE}$とする．$▵\mathrm{OAB}$と$▵\mathrm{OBE}$の面積比が$2:3$のとき，$\sin \angle \mathrm{AOB}$の値を求めよ．

【５】　$p$を素数，$n$を正の整数とするとき，$(p^n)!$は$p$で何回割り切れるか．

【１】次の各問にそれぞれ答えよ．

問１　正の数$a$に対して$xyz$空間で$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(3,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(3,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{D}(0,0,a)\text{，}$$\mathrm{E}(3,0,a)\text{，}$$\mathrm{F}(3,2,a)\text{，}$$\mathrm{G}(0,2,a)$を頂点とする直方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$を考える．$\mathrm{D}$を通り，$3$つの頂点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{G}$を含む平面に垂直な直線が辺$\mathrm{BC}$（両端を含む）と点$\mathrm{P}$で交わるとき，$a$の値と$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【２】　平面上に三角形$▵\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2$と点${\mathrm{A}}_3\text{，}{\mathrm{A}}_4\text{，}{\mathrm{A}}_5$を，$n=1\text{，}2\text{，}3$に対して$▵\mathrm{O}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{A}}_{n+1}$と$▵\mathrm{O}{\mathrm{A}}_{n+1}{\mathrm{A}}_{n+2}$が辺$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_{n+1}$に関して対称になるようにとる．$▵\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_5$の面積が$▵\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2$の面積の正の整数倍となるとき，$\angle {\mathrm{A}}_1\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2$の値を求めよ．

【４】　$\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$を$ad-bc=1$みたす行列（$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数）とし，正の整数$n$に対して

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$

により$x_n\text{，}{y}_n$を定める．${x_2}^2+{y_2}^2={x_3}^2+{y_3}^2=1$ならばすべての$n$に対して${x_n}^2+{y_n}^2=1$であることを示せ．

【６】　極方程式$r=1+\cos \theta \text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$で表される曲線の長さを求めよ．

【１】　$xyz$空間で$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(3,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(3,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{D}(0,0,4)\text{，}$$\mathrm{E}(3,0,4)\text{，}$$\mathrm{F}(3,2,4)\text{，}$$\mathrm{G}(0,2,4)$を頂点とする直方体$\mathrm{OABC}‐\mathrm{DEFG}$を考える．辺$\mathrm{AE}$を$s:1-s$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{CG}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とおく．ただし$0<s<1\text{，}0<t<1$とする．$\mathrm{D}$を通り，$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を含む平面に垂直な直線が線分$\mathrm{AC}$（両端を含む）と交わるような$s\text{，}t$のみたす条件を求めよ．

【２】　平面上の鋭角三角形$▵\mathrm{ABC}$の内部（辺や頂点は含まない）に点$\mathrm{P}$をとり，${\mathrm{A}}^{\prime }$を$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{P}$を通る円の中心，${\mathrm{B}}^{\prime }$を$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}$を通る円の中心，${\mathrm{C}}^{\prime }$を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}$を通る円の中心とする．このとき$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}{\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }$が同一円周上にあるための必要十分条件は$\mathrm{P}$が$▵\mathrm{ABC}$の内心に一致することであることを示せ．

【３】　$n$枚のカードを積んだ山があり，各カードには上から順番に$1$から$n$まで番号がつけられている．ただし$n\geqq 2$とする．このカードの山に対して次の試行を繰り返す．$1$回の試行では，一番上のカードを取り，山の一番上にもどすか，あるいはいずれかのカードの下に入れるという操作を行う．これら$n$通りの操作はすべて同じ確率であるとする．$n$回の試行を終えたとき，最初一番下にあったカード（番号$n$）が山の一番上に来ている確率を求めよ．

【４】　$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$を$ad-bc=1$をみたす行列とする（$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数）．自然数$n$に対して平面上の点${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)$を

$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

により定める．$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}$の長さが$1$のとき，すべての$n$に対して$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}$の長さが$1$であることを示せ．ここで$\mathrm{O}$は原点である．

【５】　$xy$平面上で原点を極，$x$軸の正の部分を始線とする極座標に関して，極方程式$r=2+\cos \theta \text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$により表される曲線を$C$とする．$C$と$x$軸とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．

【６】　$a$と$b$を互いに素，すなわち$1$以外の公約数をもたない正の整数とし，さらに$a$は奇数とする．正の整数$n$に対して整数$a_n\text{，}{b}_n$を${(a+b\sqrt{2})}^n=a_n+b_n\sqrt{2}$をみたすように定めるとき，次の(1)，(2)を示せ．ただし$\sqrt{2}$が無理数であることは証明なしに用いてよい．

(1)　$a_2$は奇数であり，$a_2$と$b_2$は互いに素である．

(2)　すべての$n$に対して，$a_n$は奇数であり，$a_n$と$b_n$は互いに素である．