2009　京都工芸繊維大学　前期MathJax

【１】　点$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内の$3$点$\mathrm{A}(-1,2,1)\text{，}\mathrm{B}(1,-1,1)\text{，}\mathrm{C}(2,0,-1)$を考える．$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を含む平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{H}$は$\alpha$上にあり，直線$\mathrm{AH}$が$\alpha$に直交している．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たす実数$s\text{，}t$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が平面$\alpha$上にあり$\mathrm{O}$と異なるとき，

$\cos \angle \mathrm{AOP}={\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|}}\cos \angle \mathrm{HOP}$

が成り立つことを示せ．

(3)　点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{BC}$上を動くとき，$\cos \angle \mathrm{AOP}$の最小値を求めよ．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$は定数とする．関数

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^3-x^2+2& \text{（}x\leqq 1\text{）}\\ a{x}^2+bx+c& \text{（}x>1\text{）}\end{array}$

を考える．$f(x)$は$x=1$において微分可能で，かつ$f(3)=0$を満たしている．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

(2)　$xy$平面内の曲線$C:y=f(x)$上の点$(1,2)$における$C$の接線は，$C$と$x$軸が囲む部分を$2$つの部分に分けている．それら$2$つの部分それぞれの面積を求めよ．

【３】　$xy$平面内の半円周$C:x^2+y^2=1\text{，}y\geqq 0$上に$2$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(-1,0)$と$2$点$\mathrm{S}(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}\mathrm{T}(\cos t,\sin t)\text{（}0<\theta <t<\pi \text{）}$がある．

(1)　弧$\mathrm{AT}$上を点$\mathrm{S}$が動くとき，弦$\mathrm{AS}$の長さと弦$\mathrm{ST}$の長さの和の最大値を$t$を用いて表せ．

(2)　$3$つの弦$\mathrm{AS}\text{，}\mathrm{ST}\text{，}\mathrm{TB}$の長さの和を$L$とするとき，不等式$L\leqq 3$が成り立つことを示せ．また，この不等式において等号が成り立つときの$\theta$と$t$の値を求めよ．

【４】　関数$f_n(x)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$は次の条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たしている．

• (ⅰ)　$f_0(x)=x^2{e}^x$
• (ⅱ)　$f_{n+1}(x)={\displaystyle \frac{d}{dx}}{f}_n(x)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$について，ある定数$a_n\text{，}{b}_n$を用いて$f_n(x)=(x^2+a_{n}x+b_n)e^x$と表せることを示し，$a_n\text{，}{b}_n$を求めよ．

(2)　$n\geqq 1$とする．$xy$平面内の曲線$y=f_n(x)$の$y\leqq 0$の部分を$C_n$とする．$C_n$と$x$軸で囲まれる部分の面積$S_n$を求めよ．