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2009-10550-0201
2009 京都工芸繊維大学 後期
配点25%
易□ 並□ 難□
【1】 関数 h⁡ (x)= x-log⁡ (x2 +1) と, xy 平面内の曲線 C: y=x⁢ h⁡(x ) を考える. C 上の点 A における C の接線 l が原点 O を通る.ただし, A は O と異なるとする.
(1) h⁡(x ) の増減を調べよ.
(2) A の座標を求めよ.
(3) C と l の共有点は 2 点 O と A のみであることを(1)を用いて示せ.
(4) C と l で囲まれた部分の面積を求めよ.
2009-10550-0202
【2】 I= ∫01 ⁡ x2+ 1x 4+1 ⁢dx とおく.
(1) 次の等式が x についての恒等式であるように,定数 a ,b の値を求めよ.
x2+1 x4 +1= a( 2⁢ x-1) 2+1 +b ( 2⁢x +1) 2+1
(2) 実数 α ,β が 0< α< π2 ,0 <β< π2 および tan⁡ α⁢tan⁡ β=1 を満たすとき, α+β = π2 であることを証明せよ.
(3) I を求めよ.
2009-10550-0203
【3】 白色の玉が 1 個,黒色の玉が 2 個,赤色,黄色,緑色の玉がそれぞれ 3 個ずつ,全部で 12 個の玉が袋に入っている.この袋から A が 4 個の玉を同時に取り出し,次にこれらの玉をもとに戻さずに B が 4 個の玉を同時に取り出す.次の事象 E ,F ,G を考える.
(1) E が起こる確率 P⁡ (E) を求めよ.
(2) E ,G がともに起こる事象の確率 P⁡ (E∩G ) を求めよ.
(3) E ,F がともに起こる事象の確率 P⁡ (E∩F ) を求めよ.
2009-10550-0204
【4】 α を定数とする.数列 {bn } は次のように定められている.
b1= sin2⁡ α, bn+ 1= b1+ ∑k= 1n ⁡bk ⁢cos⁡ (2k ⁢α) (n =1 ,2 ,3 ,⋯ )
(1) b2= 12 ⁢sin 2⁡( 2⁢α ) であることを示せ.
(2) n=1 ,2 ,3 ,⋯ に対して, bn+ 1 を bn を用いて表せ.
(3) 数列 {bn } の一般項を求めよ.