2009　京都工芸繊維大学　後期MathJax

【１】　関数$h(x)=x-\log (x^2+1)$と，$xy$平面内の曲線$C:y=xh(x)$を考える．$C$上の点$\mathrm{A}$における$C$の接線$l$が原点$\mathrm{O}$を通る．ただし，$\mathrm{A}$は$\mathrm{O}$と異なるとする．

(1)　$h(x)$の増減を調べよ．

(2)　$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(3)　$C$と$l$の共有点は$2$点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}$のみであることを(1)を用いて示せ．

(4)　$C$と$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　$I={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^2+1}{x^4+1}}dx$とおく．

(1)　次の等式が$x$についての恒等式であるように，定数$a\text{，}b$の値を求めよ．

${\displaystyle \frac{x^2+1}{x^4+1}=\frac{a}{{(\sqrt{2}x-1)}^2+1}+\frac{b}{{(\sqrt{2}x+1)}^2+1}}$

(2)　実数$\alpha \text{，}\beta$が$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$および$\tan \alpha \tan \beta =1$を満たすとき，$\alpha +\beta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であることを証明せよ．

(3)　$I$を求めよ．

【３】　白色の玉が$1$個，黒色の玉が$2$個，赤色，黄色，緑色の玉がそれぞれ$3$個ずつ，全部で$12$個の玉が袋に入っている．この袋から$\mathrm{A}$が$4$個の玉を同時に取り出し，次にこれらの玉をもとに戻さずに$\mathrm{B}$が$4$個の玉を同時に取り出す．次の事象$E\text{，}F\text{，}G$を考える．

• $E$：$\mathrm{A}$の取り出した玉の色がすべて異なる．
• $F$：$\mathrm{B}$の取り出した玉の色がすべて異なる．
• $G$：$\mathrm{A}$の取り出した玉の色の組合せと$\mathrm{B}$の取り出した玉の色の組合せが一致する．

(1)　$E$が起こる確率$P\left(E\right)$を求めよ．

(2)　$E\text{，}G$がともに起こる事象の確率$P(E\cap G)$を求めよ．

(3)　$E\text{，}F$がともに起こる事象の確率$P(E\cap F)$を求めよ．

【４】　$\alpha$を定数とする．数列$\{b_n\}$は次のように定められている．

$b_1={\sin }^2\alpha \text{，}{b}_{n+1}=b_1+{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k\cos (2^k\alpha )\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$b_2={\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^2(2\alpha )$であることを示せ．

(2)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(3)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．