2009 大阪大学 前期

Mathematics

Examination

Test

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2009-10561-0101(解答は川村先生サイトで)

2009 大阪大学 前期

文系(文,人間科,法,経済,医(保健(看護学)),外国語学部)

配点率35%

易□ 並□ 難□

【1】 曲線 C: y=x 3-k x k は実数)を考える. C 上に点 A ( a,a 3-k a ) a0 をとる.次の問いに答えよ.

(1) 点 A における C の接線を l 1 とする. l1 C A 以外の交点を B とする. B x 座標を求めよ.

(2) 点 B における C の接線を l 2 とする. l1 l 2 が直交するとき, a k がみたす条件を求めよ.

(3)  l1 l 2 が直交する a が存在するような k の値の範囲を求めよ.

2009-10561-0102(解答は川村先生サイトで)

2009 大阪大学 前期

文系(文,人間科,法,経済,医(保健(看護学)),外国語学部)

配点率35%

易□ 並□ 難□

【2】 平面上の三角形 OAB を考え,

a =OA b =OB t= | a | 2 | b |

とおく.辺 OA 1 :2 に内分する点を C とし, OD =t b となる点を D とする. AD OB が直交し, BC OA が直交するとき,次の問いに答えよ.

(1)  AOB を求めよ.

(2)  t の値を求めよ.

(3)  AD BC の交点を P とするとき, OP a b を用いて表せ.

2009-10561-0103(解答は川村先生サイトで)

2009 大阪大学 前期

文系(文,人間科,法,経済,医(保健(看護学)),外国語学部)

配点率30%

易□ 並□ 難□

【3】 次のような,いびつなさいころを考える. 1 2 3 の目が出る確率はそれぞれ 16 4 の目が出る確率は a 5 6 の目がでる確率はそれぞれ 14- a2 である.ただし, 0a 12 とする.

 このさいころを振ったとき,平面上の (x ,y) にある点 P は, 1 2 3 のいずれかの目が出ると (x +1,y ) に, 4 の目が出ると (x ,y+1 ) に, 5 6 のいずれかの目が出ると (x -1,y -1) に移動する.

 原点 (0, 0) にあった点 P が, k 回さいころを振ったときに (2 ,1) にある確率を pk とする.

(1)  p1 p2 p3 を求めよ.

(2)  p6 を求めよ.

(3)  p6 が最大になるときの a の値を求めよ.

2009 大阪大学 前期

理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬,工,基礎工学部)

配点率20%

易□ 並□ 難□

【1】 放物線 C: y=x 2 上の点 A 1( a1 ,a1 2 ) A2 ( a2, a2 2) A3 (a 3, a32 ) を, Ak+ 2 k1 における C の接線が直線 A kA k+1 に平行であるようにとる.ただし, a1 <a2 とする.三角形 A kA k+1 Ak +2 の面積を T k とし,直線 A 1A 2 C で囲まれた部分の面積を S とする.このとき次の問いに答えよ.

(1)  Tk+ 1T k を求めよ.

(2)  limn k =1n Tk S を用いて表せ.

2009 大阪大学 前期

理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬,工,基礎工学部)

配点率20%

易□ 並□ 難□

【2】 行列 A = 12 ( cos π3 -sin π3 sin π3 cos π 3 ) の表す 1 次変換を f とする.点 P ( 163 ,16 ) をとり, P1 =f (P) Pn+1 =f (P n) n =1 2 3 とする.正の整数 k に対して,次の条件をみたす領域を D k とする.

x<0 y<0 3 x+y -2k

 このとき D k に含まれる P n の個数を k で表せ.

2009 大阪大学 前期

理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬,工,基礎工学部)

配点率20%

易□ 並□ 難□

【3】  α 2 次方程式 x 2-2 x-1 =0 の解とするとき, (a+ 5α )(b +5c α) =1 をみたす整数の組 (a ,b,c ) をすべて求めよ.ただし,必要ならば 2 が無理数であることは証明せずに用いてよい.

2009 大阪大学 前期

理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬,工,基礎工学部)

配点率20%

易□ 並□ 難□

【4】 平面上の三角形 OAB を考え,辺 AB の中点を M とする.

a = OA | OA | b = OB | OB |

とおき,点 P a OP =- b OP > 0 であるようにとる.直線 OP A から下ろした垂線と直線 OP の交点を Q とする.

(1)  MQ b は平行であることを示せ.

(2)  |MQ | = 12 ( | OA |+ |OB | ) であることを示せ.

2009 大阪大学 前期

理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬,工,基礎工学部)

配点率20%

易□ 並□ 難□

【5】  n=1 2 3 に対して, y =log (n x) ( x- 1n )2 +y 2=1 の交点のうち第 1 象限にある点を ( pn, qn ) とする.

(1) 不等式 1- qn 2 (e- 1)2 n2 を示すことにより, limn q n=1 を証明せよ.ただし, e は自然対数の底である.

(2)  Sn= 1n pn log( nx) dx p n で表せ.

(3)  limn n Sn を求めよ.