2009　大阪大学　前期MathJax

【１】　曲線$C:y=x^3-kx$（$k$は実数）を考える．$C$上に点$\mathrm{A}(a,a^3-ka)\text{（}a\ne 0\text{）}$をとる．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$における$C$の接線を$l_1$とする．$l_1$と$C$の$\mathrm{A}$以外の交点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{B}$の$x$座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{B}$における$C$の接線を$l_2$とする．$l_1$と$l_2$が直交するとき，$a$と$k$がみたす条件を求めよ．

(3)　$l_1$と$l_2$が直交する$a$が存在するような$k$の値の範囲を求めよ．

【２】　平面上の三角形$\mathrm{OAB}$を考え，

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$t={\displaystyle \frac{|\overrightarrow{a}|}{2|\overrightarrow{b}|}}$

とおく．辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{C}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=t\overrightarrow{b}$となる点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が直交し，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$が直交するとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\angle \mathrm{AOB}$を求めよ．

(2)　$t$の値を求めよ．

(3)　$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【３】　次のような，いびつなさいころを考える．$1\text{，}2\text{，}3$の目が出る確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{6}}\text{，}4$の目が出る確率は$a\text{，}5\text{，}6$の目がでる確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{4}-\frac{a}{2}}$である．ただし，$0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．

　このさいころを振ったとき，平面上の$(x,y)$にある点$\mathrm{P}$は，$1\text{，}2\text{，}3$のいずれかの目が出ると$(x+1,y)$に，$4$の目が出ると$(x,y+1)$に，$5\text{，}6$のいずれかの目が出ると$(x-1,y-1)$に移動する．

　原点$(0,0)$にあった点$\mathrm{P}$が，$k$回さいころを振ったときに$(2,1)$にある確率を$p_k$とする．

(1)　$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3$を求めよ．

(2)　$p_6$を求めよ．

(3)　$p_6$が最大になるときの$a$の値を求めよ．

【１】　放物線$C:y=x^2$上の点${\mathrm{A}}_1(a_1,{a_1}^2)\text{，}{\mathrm{A}}_2(a_2,{a_2}^2)\text{，}{\mathrm{A}}_3(a_3,{a_3}^2)\text{，}\cdots$を，${\mathrm{A}}_{k+2}\text{（}k\geqq 1\text{）}$における$C$の接線が直線${\mathrm{A}}_k{\mathrm{A}}_{k+1}$に平行であるようにとる．ただし，$a_1<a_2$とする．三角形${\mathrm{A}}_k{\mathrm{A}}_{k+1}{\mathrm{A}}_{k+2}$の面積を$T_k$とし，直線${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2$と$C$で囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{T_{k+1}}{T_k}}$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{T}_k$を$S$を用いて表せ．

【２】　行列$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}& -\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\\ \sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}& \cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\end{array}\right)$の表す$1$次変換を$f$とする．点$\mathrm{P}(16\sqrt{3},16)$をとり，${\mathrm{P}}_1=f(\mathrm{P})\text{，}{\mathrm{P}}_{n+1}=f({\mathrm{P}}_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とする．正の整数$k$に対して，次の条件をみたす領域を$D_k$とする．

$x<0\text{，}y<0\text{，}\sqrt{3}x+y\leqq -2^k$

　このとき$D_k$に含まれる${\mathrm{P}}_n$の個数を$k$で表せ．

【３】　$\alpha$を$2$次方程式$x^2-2x-1=0$の解とするとき，$(a+5\alpha )(b+5c\alpha )=1$をみたす整数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ．ただし，必要ならば$\sqrt{2}$が無理数であることは証明せずに用いてよい．

【４】　平面上の三角形$\mathrm{OAB}$を考え，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

$\overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|}}\text{，}\overrightarrow{b}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|}}$

とおき，点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=-\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}>0$であるようにとる．直線$\mathrm{OP}$に$\mathrm{A}$から下ろした垂線と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{MQ}}$と$\overrightarrow{b}$は平行であることを示せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{MQ}}\right|={\displaystyle \frac{1}{2}}(\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|+\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|)$であることを示せ．

【５】　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，$y=\log (nx)$と${(x-{\displaystyle \frac{1}{n}})}^2+y^2=1$の交点のうち第$1$象限にある点を$(p_n,q_n)$とする．

(1)　不等式$1-{q_n}^2\leqq {\displaystyle \frac{{(e-1)}^2}{n^2}}$を示すことにより，$\underset{n\to \infty }{\lim }{q}_n=1$を証明せよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(2)　$S_n={\displaystyle {\int }_{{\displaystyle \frac{1}{n}}}^{p_n}}\log (nx)dx$を$p_n$で表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }n{S}_n$を求めよ．