2009　大阪教育大学　前期MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$s$と$t$は実数で，$s>0$と$st\geqq 4$を満たすとする．このとき，

$s+t\geqq 4$

が成り立つことを示せ．

(2)　$x$と$y$は実数で，$x>0$と$x^8(y-x^2)\geqq 4$を満たすとする．このとき，

$x(x+y)\geqq 4$

が成り立つことを示せ．

【２】　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BC}=1\text{，}\angle \mathrm{ABC}=72\mathrm{°}$の三角形$\mathrm{ABC}$を考える．$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{AD}$の長さと$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

(2)　$\cos 72\mathrm{°}$を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{ABD}$の内接円の半径を$r\text{，}$三角形$\mathrm{CBD}$の内接円の半径を$s$とするとき，${\displaystyle \frac{r}{s}}$の値を求めよ．

【３】　実数を成分とする行列

$A=\left(\begin{array}{cc}1& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& u\end{array}\right)$

に対して，次の問に答えよ．

(1)　$A^2=A$を満たす$A$をすべて求めよ．

(2)　$A\text{，}B$は$A^2=A\text{，}{B}^2=B\text{，}AB=O=BA$（ただし，$O$は零行列）を満たすとする．

(ⅰ)　$A+B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$を満たす$A\text{，}B$の組をすべて求めよ．

(ⅱ)　$A+B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$を満たす$A\text{，}B$の組をすべて求めよ．

【４】　次の不等式を示せ．

(1)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対して，

$\sin x\leqq x$

(2)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対して，

$e^{-x}\leqq e^{-\sin x}\leqq e^{-\frac{2x}{\pi }}$

(3)

$1-{\displaystyle \frac{1}{e}}<{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^{-\sin x}dx\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}(1-{\displaystyle \frac{1}{e}})$

【１】　$a$を変数とする関数

$S(a)={\displaystyle {\int }_{-1}^m}|e^x-a|dx$

を考える．ただし，$m$は$m>-1$を満たす定数とする．

　$a>0$における$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

【２】　整数ではない実数$\theta$に対して$t=\sin \pi \theta$とする．自然数$n$に対して

$a_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{2^n}}{\displaystyle \frac{1}{{\sin }^2({\displaystyle \frac{\pi \theta }{2^n}}+{\displaystyle \frac{k\pi }{2^n}})}}$

と定めるとき，次の問に答えよ．

(1)　$a_1$を$t$を用いて表せ．

(2)　$a_2$を$t$を用いて表せ．

(3)　$a_n$を$t$と$n$を用いて表せ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の三角形$\mathrm{OAB}$を考える．三角形$\mathrm{OAB}$の外接円の中心を$\mathrm{C}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$と表す．

　$\left|\overrightarrow{a}\right|$はベクトル$\overrightarrow{a}$の大きさ，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積とするとき，次の問に答えよ．

(1)

${\left|\overrightarrow{a}\right|}^2{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-{(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})}^2>0$

を示せ．

(2)

$\overrightarrow{c}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$

を満たす実数$s\text{，}t$は

$s={\displaystyle \frac{{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2({\left|\overrightarrow{a}\right|}^2-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}))}{2({\left|\overrightarrow{a}\right|}^2{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-{(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})}^2)}}$

$t={\displaystyle \frac{{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2({\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}))}{2({\left|\overrightarrow{a}\right|}^2{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2-{(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})}^2)}}$

であることを示せ．

(3)　$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$が直交するとき，${\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{b}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|}}$の値を求めよ．

【４】　$1$個のさいころを$n$回投げるとき，$k$回目に出た目を$a_k$とし，それらの積$a_1{a}_2\cdots a_n$を$b_n$とする．そして$b_n$が$r$桁の自然数となる確率を$p_n(r)$とする．

　次の問に答えよ．

(1)　$n\geqq 3$のとき，$p_n(1)$を$n$を用いて表せ．

(2)(ⅰ)　$1$個のさいころを$n$回投げるとき，$1$以外の目がちょうど$s$回出る確率を$q_n(s)$とする．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{6^n}{n^s}}{q}_n(s)$

を$s$を用いて表せ．

(ⅱ)

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{6^n}{n^6}}{p}_n(2)$

を求めよ．