2009　大阪教育大学　後期MathJax

【１】　曲線$y=x+a\sin x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$と$x$軸および直線$x=2\pi$で囲まれる図形を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を$V(a)$で表す．

　$a>0$における$V(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

【２】　$\theta$は$0<\theta <\pi$を満たす実数とし，$\mathrm{OA}=1\text{，}\mathrm{OB}=\sqrt{5}\text{，}\angle \mathrm{AOB}=\theta$の三角形$\mathrm{OAB}$を考える．$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{OC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$とする．$\mathrm{BM}$の延長と$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{AM}$の延長と$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S\text{，}$三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$T$と表すとき，次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{T}{S}}$は$\theta$の値によらず一定であることを示し，その値を求めよ．

(3)　$\mathrm{OA}$と$\mathrm{PQ}$が垂直であるとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

【３】　実数を成分とする行列

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

に対して，次の問に答えよ．ただし，$E\text{，}O$はそれぞれ$2$次の単位行列，零行列とする．

(1)　$A^2-(a+b)A+(ad-bc)E=O$が成り立つことを示せ．

(2)　行列$A$は$A^2-A+E=O$を満たすとする．

(ⅰ)　$a+d=1$と$ad-bc=1$が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　自然数$n$に対して

$A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$

とするとき，$a_n+d_n$と$a_n{d}_n-b_n{c}_n$の値を求めよ．

【４】　次の問に答えよ．

(1)　整数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$が

$a\sqrt{2}+b\sqrt{3}=c\sqrt{2}+d\sqrt{3}$

を満たすとき，

$a=c\text{，}b=d$

であることを示せ．

　もし証明に必要ならば，$\sqrt{2}\text{，}\sqrt{3}\text{，}\sqrt{6}$が無理数であることを用いてもよい．

(2)　$n$を自然数とするとき，

${(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^{2n+1}=a_n\sqrt{2}+b_n\sqrt{3}$

となる自然数$a_n\text{，}{b}_n$がただ$1$組存在することを示せ．

(3)　すべての自然数$n$に対して，(2)で求めた$a_n\text{，}{b}_n$の最大公約数が$1$であることを示せ．

【５】　$n$を$2$以上の自然数とする．次の問に答えよ．

(1)　曲線$y=\sqrt{x}\text{（}x>0\text{）}$は上に凸であることを示せ．

(2)　次の不等式を示せ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{\displaystyle \frac{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}{2}}<{\displaystyle \frac{2}{3}}(n^{\frac{3}{2}}-1)$

(3)　次の不等式を示せ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}\sqrt{k}>{\displaystyle \frac{2}{3}}\{{(n-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^{\frac{3}{2}}-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{\frac{3}{2}}\}$

(4)

$\underset{n\to \infty }{\lim }\{\left({\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{n}}}\right)-{\displaystyle \frac{2}{3}}n\}$

を求めよ．