2009　神戸大学　後期MathJax

【１】　$x\text{，}y$を正の実数とする．$▵\mathrm{ABC}$において，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=4\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=8$とする．辺$\mathrm{AB}$を$1:y$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$1:x$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．さらに，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とおく．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}x\text{，}y$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}x\text{，}y$を用いて表せ．

(3)　$x\text{，}y$が$x+y=9$をみたしながら動くとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AF}}\right|$の最小値を求めよ．

【２】　$a$を正の実数，$f(x)=a{x}^2-2ax$とする．関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれる図形を$D\text{，}$その面積を$S$とする．また，$D$の内部（境界を除く）に含まれる格子点の個数を$N$とする．このとき，$S=2N$となるような$a$と$N$の組をすべて求めよ．ここで，格子点とは$x$座標$y$座標が共に整数値である点をいう．

【３】　$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,\alpha )\text{，}\mathrm{B}(2,\beta )\text{（}\alpha <\beta \text{）}$をとり，原点を中心とする半径$1$の円を$C$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　直線$l$が線分$\mathrm{AB}$（端点を含む）と共有点をもち，円$C$とも共有点をもつとするとき，$l$の傾き$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　直線$x=3$と(1)の直線$l$の交点は，$l$が(1)の条件をみたすように動くとき線分をなす．その線分の長さ$L$を求めよ．

【１】　$2$つの関数$f(x)\text{，}g(x)$を考える．$f(x)=e^x-2$であり，$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフは原点に関して対称であるとする．ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　$g(x)$を求めよ．

(2)　$y=f(x)$と$y=gx)$の交点の$x$座標をすべて求めよ．

(3)　$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$xy$平面上で行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$による$1$次変換を考える．この変換で点$\mathrm{P}(x,y)$のうつる行き先$(ax+by,cx+dy)$を$f(\mathrm{P})$と表す．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$が直線$y=x+1$上を動くとき，$f(\mathrm{P})$は常に直線$y=5x+2$上にあるとする．$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の間の関係式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が直線$y=-x+1$上を動くとき，$f(\mathrm{P})$は常に直線$y=x+2$上にあるとする．$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の間の関係式を求めよ．

(3)　(1)，(2)の条件をみたす$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を求めよ．

(4)　(3)で求めた$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$に対して，$A^n$（$n$は自然数）を求めよ．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$を考える．$\mathrm{AB}=1\text{，}\angle \mathrm{BAC}=\alpha \text{，}\angle \mathrm{ABC}=\beta$とし，$\alpha \text{，}\beta$はいずれも，$0$と${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の間の角度とする．$\alpha \text{，}\beta \text{，}\pi -2\alpha \text{，}\pi -2\beta$のいずれよりも小さい正の角度$\theta$に対して，$4$点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}$を次のように定める．

• $\mathrm{D}$は，線分$\mathrm{BC}$上にあって$\angle \mathrm{DAB}=\theta$をみたす点．
• $\mathrm{E}$は，線分$\mathrm{AB}$上にあって$\mathrm{AD}=\mathrm{AE}$をみたす点．
• $\mathrm{F}$は，線分$\mathrm{AC}$上にあって$\angle \mathrm{FEA}=\theta$をみたす点．
• $\mathrm{G}$は，線分$\mathrm{AE}$上にあって$\mathrm{EF}=\mathrm{EG}$をみたす点．

このとき，以下の問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{EG}$の長さを$\alpha \text{，}\beta \text{，}\theta$を用いて表せ．

(2)　極限$\underset{\theta \to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{\mathrm{AG}+\mathrm{EB}}{\theta }}$を求めよ．

【４】　自然数$n$について，以下の問に答えよ．

(1)　恒等式$(n^2+1)-(n+2)(n-2)=5$を利用して，$n+2$と$n^2+1$の公約数は$1$または$5$に限ることを示せ．

(2)　(1)を用いて，$n+2$と$n^2+1$が$1$以外に公約数をもつような自然数$n$をすべて求めよ．

(3)　(1)，(2)を参考にして，$2n+1$と$n^2+1$が$1$以外に公約数をもつような自然数$n$をすべて求めよ．

【５】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を実数（$a<b<c<d$）とし，$k\text{，}l\text{，}m\text{，}n$を自然数とする．実数$x$の関数

$f(x)={(x-a)}^k{(x-b)}^l{(x-c)}^m{(x-d)}^n$

について，以下のことを示せ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$と異なる$x$に対して，

${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}={\displaystyle \frac{k}{x-a}+\frac{l}{x-b}+\frac{m}{x-c}+\frac{n}{x-d}}$

が成り立つ．

(2)　$b<x<c$の範囲の$x$に対して，

${\displaystyle \frac{l}{x+b}+\frac{m+n}{x-c}}<{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}<{\displaystyle \frac{m}{x-c}+\frac{k+l}{x-b}}$

が成り立つ．

(3)　次の$2$つの条件を同時にみたす実数$t$が存在する．

(ⅰ)　$f^{\prime }(t)=0$

(ⅱ)　$b+{\displaystyle \frac{1}{l+m+n}}(c-b)<t<c-{\displaystyle \frac{m}{k+l+n}}(c-b)$