2009 岡山大学 前期MathJax

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2009 岡山大学 前期

数学I・数学II・数学A・数学B

数学I・数学II・数学III・

数学A・数学B・数学C共通

易□ 並□ 難□

【1】  1 から 6 までの目があるさいころがある.さいころを振って出た目が k のとき,単位円周上の点 P が原点を中心として正の向きに角 πk だけ回転する.点 P の最初の位置を P0 として,次の問いに答えよ.

(1) さいころを何回か振って,点 P の回転した角の合計が π2 となるための目の出方を列挙せよ.

(2) さいころを n 回振って移動押した後の位置を Pn とする. P4 =P0 となる目の出方は何通りあるか.

(3) さいころを 2 回振ったところ, 1 回目は 4 の目, 2 回目は 3 の目が出た.そのとき,三角形 P 1P2 P3 の面積を最大にするような, 3 回目のさいころの目は何か.理由を付けて答えよ.

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数学I・数学II・数学A・数学B

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【2】 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線は, 1 点で交わることが知られている.この交点を三角形の「垂心」という.

 いま,座標平面上の曲線 K: y= 1x 上に 3 つの頂点 A (a , 1a ) B( b, 1b ) C( c, 1c ) をもつ三角形を考える.このとき次の問いに答えよ.

(1) 三角形 ABC の垂心 H は,曲線 K 上にあることを示せ.

(2) 三角形 ABH の垂心は,点 C に一致することを示せ.

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数学I・数学II・数学A・数学B

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【3】 実数 xi ai bi ci i=1 2 3 は,以下の条件(い)〜(に)を満たすものとする.

 実数 yi i=1 2 3

により定義する.このとき次の問いに答えよ.

(1)  y1+ y2+ y3= x1+ x2+ x3 を示せ.

(2)  y1 x1 を示せ.

(3)  y1+ y2 x1+ x2 を示せ.

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数学I・数学II・数学A・数学B

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【4】 次の問いに答えよ.

(1)  a を実数とする. x0 において,常に x 3+4 x2 ax +18 が成り立っているものとする.このとき, a の取りうる値の範囲を求めよ.

(2) (1)で求めた範囲にある a のうち,最大のものを a0 とするとき,不等式

x3+ 4x2 a0 x+ 18

を解け.

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【2】  2×2 行列 A B が,条件

AO BO A B=B A=O

を満たしているとする.ただし, O は零行列を表す.このとき以下の問い(1),(2)に答えよ.もし必要であれば,行列 X= (p q rs ) に対して

X2= (p+s )X- (ps -qr )E (*)

が成り立つことを使ってもよい.ただし, E は単位行列を表す.

(1) ある数 α β に対して A 2=α A B2 =β B となることを示せ.

(2) (1)において α= β=1 のとき, A+B= E を示せ.

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【3】  x を実数とし,次の無限級数を考える.

x2+ x 21+ x2- x4 +x 2( 1+x2 -x4 )2 + +x2 (1 +x2 -x4 )n -1 +

(1) この無限級数が収束するような x の範囲を求めよ.

(2) この無限級数が収束するとき,その和として得られる x の関数を f (x) と書く.また,

h(x )=f (|x |) -|x |

とおく.このとき, limx 0 h(x ) を求めよ.

(3) (2)で求めた極限値を a とするとき, limx 0 h (x) -ax は存在するか.理由を付けて答えよ.

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【4】 座標平面上に,

f(x )=2 (x-1 )e 1-12 x

で与えられる曲線 C: y=f (x) と,直線 l: y=a x a は実数)を考える.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  C l がちょうど 2 個の共有点をもつための a の条件を求めよ.もし必要であらば, limx f (x) =0 を使ってもよい.

(2)  C l が第 1 象限で接するとき, C l および x 軸で囲まれた領域の面積を求めよ.

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