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2009-10701-0101
2009 岡山大学 前期
数学I・数学II・数学A・数学B
数学I・数学II・数学III・
数学A・数学B・数学C共通
易□ 並□ 難□
【1】 1 から 6 までの目があるさいころがある.さいころを振って出た目が k のとき,単位円周上の点 P が原点を中心として正の向きに角 πk だけ回転する.点 P の最初の位置を P0 として,次の問いに答えよ.
(1) さいころを何回か振って,点 P の回転した角の合計が π2 となるための目の出方を列挙せよ.
(2) さいころを n 回振って移動押した後の位置を Pn とする. P4 =P0 となる目の出方は何通りあるか.
(3) さいころを 2 回振ったところ, 1 回目は 4 の目, 2 回目は 3 の目が出た.そのとき,三角形 P 1P2 P3 の面積を最大にするような, 3 回目のさいころの目は何か.理由を付けて答えよ.
2009-10701-0102
【2】 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線は, 1 点で交わることが知られている.この交点を三角形の「垂心」という.
いま,座標平面上の曲線 K: y= 1x 上に 3 つの頂点 A (a , 1a ), B( b, 1b ), C( c, 1c ) をもつ三角形を考える.このとき次の問いに答えよ.
(1) 三角形 ABC の垂心 H は,曲線 K 上にあることを示せ.
(2) 三角形 ABH の垂心は,点 C に一致することを示せ.
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【3】 実数 xi , ai ,bi , ci ( i=1 ,2 ,3 ) は,以下の条件(い)〜(に)を満たすものとする.
実数 yi ( i=1 ,2 ,3 ) を
により定義する.このとき次の問いに答えよ.
(1) y1+ y2+ y3= x1+ x2+ x3 を示せ.
(2) y1 ≧x1 を示せ.
(3) y1+ y2≧ x1+ x2 を示せ.
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【4】 次の問いに答えよ.
(1) a を実数とする. x≦0 において,常に x 3+4 ⁢x2 ≦a⁢x +18 が成り立っているものとする.このとき, a の取りうる値の範囲を求めよ.
(2) (1)で求めた範囲にある a のうち,最大のものを a0 とするとき,不等式
x3+ 4⁢x2 ≦a0 ⁢x+ 18
を解け.
2009-10701-0105
数学A・数学B・数学C
【2】 2×2 行列 A と B が,条件
A≠O ,B≠O ,A ⁢B=B ⁢A=O
を満たしているとする.ただし, O は零行列を表す.このとき以下の問い(1),(2)に答えよ.もし必要であれば,行列 X= (p q rs ) に対して
X2= (p+s )⁢X- (p⁢s -q⁢r )E (*)
が成り立つことを使ってもよい.ただし, E は単位行列を表す.
(1) ある数 α , β に対して A 2=α ⁢A ,B2 =β⁢ B となることを示せ.
(2) (1)において α= β=1 のとき, A+B= E を示せ.
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【3】 x を実数とし,次の無限級数を考える.
x2+ x 21+ x2- x4 +x 2( 1+x2 -x4 )2 +⋯ +x2 (1 +x2 -x4 )n -1 +⋯
(1) この無限級数が収束するような x の範囲を求めよ.
(2) この無限級数が収束するとき,その和として得られる x の関数を f⁡ (x) と書く.また,
h⁡(x )=f⁡ (|x |) -|x |
とおく.このとき, limx→ 0⁡ h⁡(x ) を求めよ.
(3) (2)で求めた極限値を a とするとき, limx→ 0⁡ h ⁡(x) -ax は存在するか.理由を付けて答えよ.
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【4】 座標平面上に,
f⁡(x )=2⁢ (x-1 )⁢e 1-12 x
で与えられる曲線 C: y=f⁡ (x) と,直線 l: y=a⁢ x( a は実数)を考える.このとき,次の問いに答えよ.
(1) C と l がちょうど 2 個の共有点をもつための a の条件を求めよ.もし必要であらば, limx →∞ ⁡f⁡ (x) =0 を使ってもよい.
(2) C と l が第 1 象限で接するとき, C と l , および x 軸で囲まれた領域の面積を求めよ.