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2009 広島大学 前期

数学I・数学II・数学A・数学B

易□ 並□ 難□

【1】 関数 y= x-x3 のグラフと,その上の点 P( t,t- t3) および点 P における接線 l を考える.ただし t> 0 とする.次の問いに答えよ.

(1)  y=x- x3 の増減を調べ,極値を求めよ.また,そのグラフをかけ.

(2)  l y= x-x3 のグラフの交点を Q とおく.ただし Q P と異なる点とする.点 Q x 座標を求めよ.

(3) 三角形 OPQ の面積が 12 になるとき t を求めよ.ただし点 O は原点である.

2009 広島大学 前期

数学I・数学II・数学A・数学B

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C【1】の類題

易□ 並□ 難□

【2】 以下のそれぞれの命題が真である偽であるかを答え,真の場合は証明を,偽の場合は反例を与えよ.

(1)  x<y ならば x2 <y2 である.

(2)  log2 x=log3 y ならば x y である.

(3) 微分可能な関数 f (x) f (a) =0 を満たすならば, f( x) x= a において極値をとる.

(4)  n 2 以上の自然数ならば, 1+2+ +n の約数の中に 3 以上の奇数がある.

2009 広島大学 前期

数学I・数学II・数学A・数学B

易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上の定点 P と,関数 y= f(x ) のグラフ上を動く点 Q を考える.このとき,点 P と点 Q の距離 PQ の最小値を,点 P y= f(x ) のグラフの距離と呼ぶことにする.次の問いに答えよ.

(1) 点 P 1( 0, 13 ) y= x2 のグラフの距離 d1 の値を求めよ.

(2) 点 P 2( 0, 54 ) y= x2 のグラフの距離 d2 の値を求めよ.また, d2= P2R となる y= x2 のグラフ上の点 R をすべて求めよ.

(3) 点 P2 を中心とする半径 d2 の円と y= x2 のグラフで囲まれた部分の面積 S を求めよ.

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数学I・数学II・数学A・数学B

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C【4】の類題

易□ 並□ 難□

【4】 四面体 OABC において,

AOB= AOC= π2 BOC =π 3 OA=OB =2 OC=1

とする. 3 A B C を通る平面上の点 P を考え, OP =p とする. OA =a OB =b OC = c とするとき, p は実数 s t を用いて

p =(1- s-t) a +s b +t c

と表される.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 内積 p a p b p c s t を用いて表せ.

(2) 点 P AOP= BOP= COP を満たすとき, s t の値を求めよ.

(3) (2)の条件を満たす点 P について,直線 AP と直線 BC の交点を Q とする. BQ:QC を求めよ.

(4) (2)の条件を満たす点 P について, 2 つの四面体 OABP OACP の体積の比を求めよ.

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数学I・数学II・数学A・数学B

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C【5】とほぼ同一問題

易□ 並□ 難□

【5】  2 人のプレーヤー A B が対戦を繰り返すゲームを行う. 1 回の対戦につき A が勝つ確率は p であり, B が勝つ確率は 1- p であるとする(ただし 0< p<1 ). A B は初めにそれぞれ 2 枚の金貨を持っている. 1 回の対戦につき勝者は敗者から 1 枚の金貨を受け取る.対戦を繰り返して一方のプレーヤーがすべての金貨を手に入れたとき,ゲームを終了する.ちょうど n 回の対戦で A がすべての金貨を手に入れる確率を Pn とする.ただし n は自然数とする.

(1)  P2 P4 を求めよ.

(2)  P2 n-1 を求めよ.

(3)  P2 n を求めよ.

(4)  2n 回以内の対戦で A がすべての金貨を手に入れる確率 Sn を求めよ.

2009 広島大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C

数学I・数学II・数学A・数学B【2】の類題

易□ 並□ 難□

【1】 以下のそれぞれの命題が真である偽であるかを答え,真の場合は証明を,偽の場合は反例を与えよ.

(1) すべての 2 2 列の行列 A B に対して, (A+ B)2 =A2 +2A B+B 2 が成立する.

(2)  2 2 列の行列 A A2 =E を満たすならば, A=E または A= -E である.ただし E は単位行列とする.

(3) 微分可能な関数 f (x) f (a) =0 を満たすならば, f( x) x= a において極値をとる.

(4)  n 2 以上の自然数ならば, 1+2+ +n の約数の中に 3 以上の奇数がある.

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数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C

易□ 並□ 難□

【2】 座標平面上の 3 A( 0,0) B( 1,0) C( x,y) を考える.ただし y> 0 とする.次の問いに答えよ.

(1)  ABC が二等辺三角形であるとする.そのとき x y が満たす条件を求め,点 C の存在範囲を図示せよ.

(2)  ABC が鋭角三角形であるとする.そのとき y が満たす条件を求め,点 C の存在範囲を図示せよ.

(3)  3 つの角 CAB ABC BCA をそれぞれ α β γ とし,不等式

αβ γ< π 2

を満たすとする.そのとき x y が満たす条件を求め,点 C の存在範囲を図示せよ.

(4)  x y が(3)の条件を満たすとき, γ がとりうる値の範囲を求めよ.

2009 広島大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C

易□ 並□ 難□

【3】 曲線 y= ex 上の点 A( 0,1) における接線を l とし,点 B (0, 2) を通り直線 l に平行な直線を m とする.直線 m と曲線 y= ex 2 つの交点 P Q x 座標をそれぞれ α β (ただし α <β )とする.直線 x= α と直線 l の交点を P 直線 x= β と直線 l の交点を Q とする.次の問いに答えよ.

(1) 平行四辺形 PP Q Q の面積 S α β で表せ.

(2) 直線 m と曲線 y= ex によって囲まれる図形の面積 T α β の多項式で表せ.

(3) 線分 PQ の中点 R は第 2 象限にあることを示せ.

(4)  α+β> -1 であることを示せ.

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数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C

数学I・数学II・数学A・数学B【4】の類題

易□ 並□ 難□

【4】 四面体 OABC において,

AOB= AOC= π2 BOC =π 3 OA=OB =2 OC=1

とする. 3 A B C を通る平面上の点 P を考え, OP =p とする. OA =a OB =b OC = c とするとき, p は実数 s t を用いて

p =(1- s-t) a +s b +t c

と表される.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 内積 p a p b p c s t を用いて表せ.

(2) 点 P AOP= BOP= COP を満たすとき, s t の値を求めよ.

(3) (2)の条件を満たす点 P について,直線 AP と直線 BC の交点を Q 直線 BP と直線 AC の交点を R とする. BQ:QC および AR :RC を求めよ.

(4) (2)の条件を満たす P について, 3 つの四面体 OABP OBCP OCAP の体積の比を求めよ.

2009 広島大学 前期

数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C

数学I・数学II・数学A・数学B【5】とほぼ同一問題

易□ 並□ 難□

【5】  2 人のプレーヤー A B が対戦を繰り返すゲームを行う. 1 回の対戦につき A が勝つ確率は p であり, B が勝つ確率は 1- p であるとする(ただし 0< p<1 ). A B は初めにそれぞれ 2 枚の金貨を持っている. 1 回の対戦につき勝者は敗者から 1 枚の金貨を受け取る.対戦を繰り返して一方のプレーヤーがすべての金貨を手に入れたとき,ゲームを終了する.ちょうど n 回の対戦で A がすべての金貨を手に入れる確率を Pn とする.ただし n は自然数とする.

(1)  P4 を求めよ.

(2)  P2 n-1 を求めよ.

(3)  P2 n を求めよ.

(4)  2n 回以内の対戦で A がすべての金貨を手に入れる確率 Sn を求めよ.

(5)  S=lim n Sn とする. p S の大小関係を調べよ.

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