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2009-10721-0101
2009 広島大学 前期
数学I・数学II・数学A・数学B
易□ 並□ 難□
【1】 関数 y= x-x3 のグラフと,その上の点 P( t,t- t3) , および点 P における接線 l を考える.ただし t> 0 とする.次の問いに答えよ.
(1) y=x- x3 の増減を調べ,極値を求めよ.また,そのグラフをかけ.
(2) l と y= x-x3 のグラフの交点を Q とおく.ただし Q は P と異なる点とする.点 Q の x 座標を求めよ.
(3) 三角形 OPQ の面積が 12 になるとき t を求めよ.ただし点 O は原点である.
2009-10721-0102
数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C【1】の類題
【2】 以下のそれぞれの命題が真である偽であるかを答え,真の場合は証明を,偽の場合は反例を与えよ.
(1) x<y ならば x2 <y2 である.
(2) log2⁡ x=log3 ⁡y ならば x≦ y である.
(3) 微分可能な関数 f⁡ (x) が f′ ⁡(a) =0 を満たすならば, f⁡( x) は x= a において極値をとる.
(4) n が 2 以上の自然数ならば, 1+2+ ⋯+n の約数の中に 3 以上の奇数がある.
2009-10721-0103
【3】 座標平面上の定点 P と,関数 y= f⁡(x ) のグラフ上を動く点 Q を考える.このとき,点 P と点 Q の距離 PQ の最小値を,点 P と y= f⁡(x ) のグラフの距離と呼ぶことにする.次の問いに答えよ.
(1) 点 P 1( 0, 13 ) と y= x2 のグラフの距離 d1 の値を求めよ.
(2) 点 P 2( 0, 54 ) と y= x2 のグラフの距離 d2 の値を求めよ.また, d2= P2R となる y= x2 のグラフ上の点 R をすべて求めよ.
(3) 点 P2 を中心とする半径 d2 の円と y= x2 のグラフで囲まれた部分の面積 S を求めよ.
2009-10721-0104
数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C【4】の類題
【4】 四面体 OABC において,
∠AOB=∠ AOC= π2 ,∠BOC =π 3 ,OA=OB =2 ,OC=1
とする. 3 点 A ,B ,C を通る平面上の点 P を考え, OP→ =p→ とする. OA→ =a→ , OB→ =b → ,OC →= c→ とするとき, p→ は実数 s ,t を用いて
p→ =(1- s-t) ⁢a→ +s⁢ b→ +t⁢ c→
と表される.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 内積 p→ ⋅a → ,p→ ⋅b → ,p→ ⋅c → を s ,t を用いて表せ.
(2) 点 P が ∠AOP= ∠BOP=∠ COP を満たすとき, s ,t の値を求めよ.
(3) (2)の条件を満たす点 P について,直線 AP と直線 BC の交点を Q とする. BQ:QC を求めよ.
(4) (2)の条件を満たす点 P について, 2 つの四面体 OABP と OACP の体積の比を求めよ.
2009-10721-0105
数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C【5】とほぼ同一問題
【5】 2 人のプレーヤー A ,B が対戦を繰り返すゲームを行う. 1 回の対戦につき A が勝つ確率は p であり, B が勝つ確率は 1- p であるとする(ただし 0< p<1 ). A と B は初めにそれぞれ 2 枚の金貨を持っている. 1 回の対戦につき勝者は敗者から 1 枚の金貨を受け取る.対戦を繰り返して一方のプレーヤーがすべての金貨を手に入れたとき,ゲームを終了する.ちょうど n 回の対戦で A がすべての金貨を手に入れる確率を Pn とする.ただし n は自然数とする.
(1) P2 と P4 を求めよ.
(2) P2⁢ n-1 を求めよ.
(3) P2⁢ n を求めよ.
(4) 2⁢n 回以内の対戦で A がすべての金貨を手に入れる確率 Sn を求めよ.
2009-10721-0106
数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C
数学I・数学II・数学A・数学B【2】の類題
【1】 以下のそれぞれの命題が真である偽であるかを答え,真の場合は証明を,偽の場合は反例を与えよ.
(1) すべての 2 行 2 列の行列 A ,B に対して, (A+ B)2 =A2 +2⁢A ⁢B+B 2 が成立する.
(2) 2 行 2 列の行列 A が A2 =E を満たすならば, A=E または A= -E である.ただし E は単位行列とする.
2009-10721-0107
【2】 座標平面上の 3 点 A( 0,0) ,B( 1,0) ,C( x,y) を考える.ただし y> 0 とする.次の問いに答えよ.
(1) ▵ABC が二等辺三角形であるとする.そのとき x ,y が満たす条件を求め,点 C の存在範囲を図示せよ.
(2) ▵ABC が鋭角三角形であるとする.そのとき ,y が満たす条件を求め,点 C の存在範囲を図示せよ.
(3) 3 つの角 ∠CAB ,∠ABC ,∠ BCA をそれぞれ α ,β ,γ とし,不等式
α≦β ≦γ< π 2
を満たすとする.そのとき x ,y が満たす条件を求め,点 C の存在範囲を図示せよ.
(4) x ,y が(3)の条件を満たすとき, γ がとりうる値の範囲を求めよ.
2009-10721-0108
【3】 曲線 y= ex 上の点 A( 0,1) における接線を l とし,点 B (0, 2) を通り直線 l に平行な直線を m とする.直線 m と曲線 y= ex の 2 つの交点 P ,Q の x 座標をそれぞれ α , β (ただし α <β )とする.直線 x= α と直線 l の交点を P ′ , 直線 x= β と直線 l の交点を Q ′ とする.次の問いに答えよ.
(1) 平行四辺形 PP ′Q ′Q の面積 S を α ,β で表せ.
(2) 直線 m と曲線 y= ex によって囲まれる図形の面積 T を α ,β の多項式で表せ.
(3) 線分 PQ の中点 R は第 2 象限にあることを示せ.
(4) α+β> -1 であることを示せ.
2009-10721-0109
数学I・数学II・数学A・数学B【4】の類題
(3) (2)の条件を満たす点 P について,直線 AP と直線 BC の交点を Q , 直線 BP と直線 AC の交点を R とする. BQ:QC および AR :RC を求めよ.
(4) (2)の条件を満たす P について, 3 つの四面体 OABP , OBCP ,OCAP の体積の比を求めよ.
2009-10721-0110
数学I・数学II・数学A・数学B【5】とほぼ同一問題
(1) P4 を求めよ.
(5) S=lim n→∞ Sn とする. p と S の大小関係を調べよ.