2009　高知大学　前期MathJax

【１】　$x\geqq 3\text{，}y\geqq 3\text{，}{x}^{2}y=3^6$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{3}x$および${\log }_{3}y$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　${\log }_{3}x-{\log }_{9}y$の最大値と最小値を求めよ．

(3)　$({\log }_{3}x)({\log }_{3}y)$の最大値と最小値を求めよ．

(4)　$m\text{，}n$を正の整数とする．${\log }_3{x}^m+{\log }_3{y}^n$の最大値と最小値が等しくなるときの$m$と$n$の関係式を求めよ．

【２】　関数$f(x)=x^3-2x^2+|x|$について，次の問いに答えよ．

(1)　$x>0$と$x<0$それぞれにおいて関数$y=f(x)$の導関数を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$のグラフをかけ．

(3)　$a\geqq 1$のとき，直線$y=ax$と曲線$y=f(x)$は異なる$3$つの共有点をもつことを示せ．

(4)　半直線$y=x\text{（}x\geqq 0\text{）}$と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，${\displaystyle \int }{x}^{3}dx={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4+C$（$C$は積分定数）を使ってよい．

【３】　平面上に点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円があり，正三角形$\mathrm{ABC}$はこの円に内接している．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　平面上の点$\mathrm{P}$に対し

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}=3\overrightarrow{\mathrm{OP}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$x$が$x>1$の範囲にあるすべての実数値をとって変化するとき，

$x\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$

を満たす平面上の点$\mathrm{P}$の描く図形を図示せよ．

(3)　(2)で求めた図形上の点$\mathrm{P}$が

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=-2$

を満たすとき，$x$の値を求めよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}$はベクトルの内積を表す．

【４】　点$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面において，$x$座標，$y$座標がともに整数であるような点を格子点と呼ぶ．$4$以上の整数$n$に対して，点$\mathrm{A}(3,3)\text{，}{\mathrm{P}}_n(3,n)$をとり，三角形$\mathrm{OA}{\mathrm{P}}_n$の内部にある格子点の個数を$a_n$とする．ただし，三角形$\mathrm{OA}{\mathrm{P}}_n$の辺上の点は三角形$\mathrm{OA}{\mathrm{P}}_n$の内部には含めないものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_4\text{，}{a}_5\text{，}{a}_6$を求めよ．

(2)　$1$以上の整数$k$に対して，$a_{3k+1}\text{，}{a}_{3k+2}\text{，}{a}_{3k+3}$を$k$を用いて表せ．

(3)　$a_n=a_{n+1}$となるのは$n$がどのようなときかを述べよ．

(4)　$a_n\leqq 23$の条件のもとで，$a_n$が最大となるような$n$をすべて求めよ．

【２】　$f(\theta )=2\sin 2\theta \text{，}g(\theta )=2\sin \theta +2\cos \theta -1\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x=\sin \theta +\cos \theta$とおいて，$f(\theta )-g(\theta )$を$x$の式で表せ．

(2)　(1)で求めた$x$の式を$h(x)$とする．$h(x)=0$を$x$について解け．

(3)　(2)の結果を用いて，$f(\theta )=g(\theta )$を$\theta$について解け．

(4)　$f(\theta )\geqq g(\theta )$となる$\theta$の範囲を求めよ．

【３】　係数$a\text{，}b$は実数で$c$は素数である$3$次式$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$を考える．方程式$f(x)=0$は$3$個の負の整数解をもつとする．ただし，重解は重複して数える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$を$c$を用いて表せ．

(2)　$f(x)\geqq 0$となる$x$の範囲で

${\displaystyle \int }{f}^{\prime }(x)\log (f(x)+1)dx=(f(x)+1)\{\log (f(x)+1)-1\}+C$

を示せ．ただし，$C$は積分定数とする．

(3)　不等式$f^{\prime }(x)\log (|f(x)|+1)<0$を解け．

(4)　$c=7$のとき，曲線$y=f^{\prime }(x)(\log (|f(x)|+1)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)$の形の$2$次正方行列全体の集合を$\mathrm{S}$とする．ここで，$a\text{，}b$は実数である．また，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$u$を実数の定数とする．$\mathrm{S}$の各要素$A$に対し，$A^2+uA+E=B^2$となる$\mathrm{S}$の要素$B$が存在すれば，

$-2\leqq u\leqq 2$

であることを示せ．

(2)　$u$は$-2\leqq u\leqq 2$を満たす定数とする．このとき，$\mathrm{S}$の各要素$A$に対し，

$A^2+uA+E=B^2$

となる$\mathrm{S}$の要素$B$が存在することを示せ．