2009　九州工業大学　後期MathJax

【１】　$2$つのサイコロを同時に投げるとき，出る目を$p\text{，}q$とする．このとき

$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{p-1}{5}}& {\displaystyle \frac{6-q}{5}}\\ {\displaystyle \frac{6-q}{5}}& {\displaystyle \frac{q-1}{5}}\end{array}\right)\text{，}\Delta ={\displaystyle \frac{p-1}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{q-1}{5}}-{\displaystyle \frac{6-p}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{6-q}{5}}$

とおいて，次に答えよ．

(ⅰ)　$p+q$がとりうる値をすべて求め，それぞれの値をとる確率を求めよ．

(ⅱ)　$\Delta =0$となる確率を求めよ．

(ⅲ) 　$\Delta$の期待値$E$を求めよ．

(ⅴ)　$A^2=A$となる確率を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(1,0,1)\text{，}\mathrm{B}(0,1,1)\text{，}\mathrm{C}(1,1,1)$がある．線分$\mathrm{OC}$上の点を$\mathrm{P}(t,t,t)\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$とする．次に答えよ．

(ⅰ)　$\cos \angle \mathrm{APB}$を$t$を用いて表せ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{OC}$上を動くとき，$\cos \angle \mathrm{APB}$が最小となる$\mathrm{P}$を${\mathrm{P}}_0$とする．このとき，${\mathrm{P}}_0$の座標，および$\angle \mathrm{A}{\mathrm{P}}_0\mathrm{B}$を求めよ．

(ⅲ)　点${\mathrm{P}}_0$を(ⅱ)で求めた点とする．このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_0}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{P}}_0\mathrm{A}}$を求めよ．また，四面体$\mathrm{OAB}{\mathrm{P}}_0$の体積を求めよ．

【３】　実数$a\text{，}b$に対して定まる直線$l\text{：}y=ax+b$と曲線$C\text{：}y=|x(2-x)|$について，次に答える．

(ⅰ)　$b=0$のとき，直線$l$と曲線$C$が$0<x<2$の範囲に共有点をもつための$a$の範囲を求めよ．

(ⅱ)　直線$l$と曲線$C$が$0<x<2$の範囲に接点をもつための$a\text{，}b$の条件を求めよ．

(ⅲ)　直線$l$と曲線$C$がちょうど$3$個の共有点をもつとき，点$(a,b)$全体の集合を$ab$平面上に図示せよ．

【４】　次に答えよ．

(ⅰ)　不等式$x\geqq -{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{4-x^2}}}\text{（}-2<x<2\text{）}$を示せ．また，等号が成り立つときの$x$の値を求めよ．

(ⅱ)　関数$f(x)-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{4-x^2}}}$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．

(ⅲ)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\geqq -{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{4-x^2}}}\\ y\leqq x\\ x^2+y^2\leqq 4\end{array}$

の表す図形を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．

【１】　実数$p\text{（}0<p<1\text{）}$に対し関数$f(p)=-p\log p$と定義する．ただし対数は自然対数とする．また$p+q+r=1$を満たす実数$p\text{，}q\text{，}r\text{（}0<p<1\text{，}0<q<1\text{，}0<r<1\text{）}$に対し

$h=f(p)+f(q)+f(r)$

とおく．$h$の最大値とそのときの$p\text{，}q\text{，}r$の値を求めるため，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$h$を$p$と$q$を用いて表せ．

(ⅱ)　$q$が定数$a\text{（}0<a<1\text{）}$に等しいとき，$h$を$p$の関数とみなす．このとき$h$を最大にする$p$とそのときの$h$の最大値$H_a$を$a$を用いて表せ．

(ⅲ)　(ⅱ)で求めた$H_a$が$a\text{（}0<a<1\text{）}$について最大になるとき$h$は最大になる．$h$が最大となるときの$p\text{，}q\text{，}r$の値を求めよ．また，そのときの$h$の値を求めよ．

【２】　$2$次の正方行列$A\text{，}B\text{，}C$は等式

$C=2A-B$

$E=A+B$

を満たすものとする．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

$C=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -1& -2\end{array}\right)$

のとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$A\text{，}B$を求めよ．

(ⅱ)　$A^2\text{，}{B}^2\text{，}AB\text{，}BA$を求めよ．

(ⅲ)　数学的帰納法を用いて等式

$C^n=2^{n}A+{(-1)}^{n}B$

が任意の自然数$n$に対して成立することを示せ．

(ⅳ)　自然数$n$に対して

$E+C+C^2+\cdots +C^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$

とおくとき，$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n\text{，}{d}_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

【３】　図のような$\angle \mathrm{ACB}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{BAC}=\theta \text{，}\mathrm{AB}=r$とする．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{N}$があり，$\mathrm{AM}=x\text{，}\mathrm{AN}=y$とする．ただし点$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$はいずれも点$\mathrm{A}$とは異なるものとする．

　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を$r\text{，}\theta$を用いて表せ．

(ⅱ)　$▵\mathrm{AMN}$の面積を$x\text{，}y\text{，}\theta$を用いて表せ．

(ⅲ)　$▵\mathrm{AMN}$の面積は$▵\mathrm{ABC}$の面積の${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとする．このとき，$x+y$を最小とする$x\text{，}y$と，そのときの$x+y$の値を$r\text{，}\theta$を用いて表せ．

(ⅳ)　$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で変化させたとき，点$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$は(ⅲ)の最小値を与えるように動くものとする．点$\mathrm{N}$と辺$\mathrm{AB}$の距離が最大となるときの$\cos \theta$の値を求めよ．

【４】　直線上に$3$点$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{R}$があり，最初，点$\mathrm{M}$に玉が$1$つ置かれている．サイコロを$1$回投げるごとに，次の規則に従って玉の位置を決めることを$1$回の試行とする．

・玉が点$\mathrm{M}$にあるとき，$1$または$2$の目が出たら点$\mathrm{L}$へ，$5$または$6$の目が出たら点$\mathrm{R}$へ動かし，$3$または$4$の目が出たら点$\mathrm{M}$のまま動かさない．

・玉が点$\mathrm{L}$にあるとき，奇数の目が出たら点$\mathrm{M}$へ動かし，偶数の目が出たら点$\mathrm{L}$のまま動かさない．

・玉が点$\mathrm{R}$にあるとき，奇数の目が出たら点$\mathrm{M}$へ動かし，偶数の目が出たら点$\mathrm{R}$のまま動かさない．

　$n$回の試行の結果，玉が点$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{R}$にある確率をそれぞれ$l_n\text{，}{m}_n\text{，}{r}_n$とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$l_2\text{，}{m}_2\text{，}{r}_2$の値をそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　$l_n\text{，}{m}_n\text{，}{r}_n$を用いて$l_{n+1}\text{，}{m}_{n+1}\text{，}{r}_{n+1}$をそれぞれ表せ．

(ⅲ)　$n$を用いて$m_n$を表せ．