2009　首都大学東京　後期MathJax

【１】　点$\mathrm{P}(3,2)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{d}=(2,1)$に平行な直線$l$について，以下の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{d}$に垂直な単位ベクトルのうち，$x$成分が正であるものを成分で表しなさい．

(2)　直線$y=1$に接し，点$\mathrm{P}$で$l$に接する円は$2$つ存在する．この$2$つの円の半径と中心の座標をそれぞれ求めなさい．

【２】　実数を成分とする$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$について，以下の問いに答えなさい．

(1)　$ad-bc=1$かつ$A^2=E$を満たす$A$をすべて求めなさい．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$が整数で，$ad-bc=1$かつ$A^4=E$を満たす$A$は無数に存在することを示しなさい．

【３】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を

$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}{(1-x^2)}^{n}dx\text{，}{a}_n{b}_n={\displaystyle \frac{1}{2n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定めるとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　漸化式$a_n={\displaystyle \frac{2n}{2n+1}}{a}^{n-1}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$を示しなさい．

(2)　$a_n\text{，}{b}_n$を$n$を用いて有理数の積の形で表しなさい．

(3)　不等式$b_n<a_n<2b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を示しなさい．

(4)　$a=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\text{，}b=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めなさい．

【４】　実数$x$は$-\pi <x<\pi$の範囲を動くとする．このとき，関数$f(x)={\displaystyle \frac{1+\sin x}{3+\cos x}}$について，以下の問いに答えなさい．

(1)　$t=\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}$として，等式$\cos x={\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}}\text{，}\sin x={\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}}$を示しなさい．

(2)　$f(x)$の最大値と最小値を求めなさい．