2009　横浜市立大　前期医学科MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$は定数で$a>0$とする．

(ア)　関数

$f(x)=e^{-a{x}^2-bx-c}$

は，$x=\boxed{\mathrm{A}}$で最大となり，その値は$\boxed{\mathrm{B}}$となる．

(イ)　公式

$\underset{T\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^T}{e}^{-x^2}dx={\displaystyle \frac{\sqrt{\pi }}{2}}$

を用いると，

$\underset{R\to }{\lim }{\displaystyle {\int }_{-R}^R}f(x)dx$

の値は$\boxed{\mathrm{C}}$となる．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　箱の中に$\mathrm{A}$と書かれたカード，$\mathrm{B}$と書かれたカード，$\mathrm{C}$と書かれたカードがそれぞれ$4$枚ずつ入っている．男性$6$人，女性$6$人が箱の中から$1$枚ずつカードを引く（引いたカードは戻さない）．

(ア)　$\mathrm{A}$と書かれたカードを$4$枚とも男性が引く確率は$\boxed{\mathrm{D}}$となる．

(イ)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$と書かれたカードのうち，少なくとも一種類のカードを$4$枚とも男性または$4$枚とも女性が引く確率は$\boxed{\mathrm{E}}$となる．

【２】　$X\text{，}Y$をそれぞれ成分が負でない整数からなる$2\times 2$行列とし，

$A=\left(\begin{array}{cc}9& 4\\ 3& 2\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}10& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$

とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$X$を

$X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

とする．$YX=A$ならば

$a\leqq 9$

であることを示せ．特に，$c=0$ならば$a$は$1$または$3$であることを示せ．

(2)　$BX=XA$となるための必要十分条件は

$a=3b-2c\text{，}d=2b-4c$

であることを示せ．

(3)　二つの等式

$YX=A\text{，}XY=B$

を同時に満たす$X$および$Y$は存在しないことを示せ．

【３】　平面上に四角形$\mathrm{ABCD}$があり，

$\mathrm{AB}=a\text{，}\mathrm{BC}=b\text{，}\angle \mathrm{A}=\theta$

とする．条件

$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}\text{，}{\displaystyle \frac{\pi }{3}<\theta <\frac{\pi }{2}}\text{，}b<a<{\displaystyle \frac{b}{2\cos \theta }}$

のもとで，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{CD}=c$を$a\text{，}b\text{，}\theta$を用いて表せ．

(2)　$a\text{，}b$を固定して，$\theta$が${\displaystyle \frac{\pi }{3}<\theta <\frac{\pi }{2}}$を動くとき$c$の最小値を求めよ．

【４】　関数$\phi (x)$およびその導関数${\phi }^{\prime }(x)$がある開区間$\mathrm{J}$上で次の等式をみたすとする．

${\phi }^{\prime }(x)=a(x)+b(x)\phi (x)+c(x){\phi (x)}^2$(＊)

ここに$a(x)\text{，}b(x)\text{，}c(x)$は$\mathrm{J}$上の与えられた連続関数である．以下(＊)をみたす関数$\phi (x)$を(＊)の解と呼ぶ．

　開区間$\mathrm{J}$上では，(＊)の異なる二つの解${\phi }_i(x)\text{，}{\phi }_j(x)$に対して

${\phi }_i(x)\ne {\phi }_j(x)\text{（}x\in \mathrm{J}\text{）}$

が成り立つと仮定する．

　以下の問いに答えよ．ただし，簡単のため$\phi =\phi (x)\text{，}{\phi }^{\prime }={\phi }^{\prime }(x)$と略記する．

(1)　${\phi }_i\text{，}{\phi }_j$を(＊)の異なる二つの解とする．このとき

${\displaystyle \frac{{{\phi }_i}^{\prime }-{{\phi }_j}^{\prime }}{{\phi }_i-{\phi }_j}}$

を求めよ．

(2)　${\phi }_1\text{，}{\phi }_2\text{，}{\phi }_3$を(＊)の異なる三つの解とし，さらに$\phi$を${\phi }_3$と異なる(＊)の任意の解とする．そして

$(\phi ,{\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3)={\displaystyle \frac{(\phi -{\phi }_1)({\phi }_2-{\phi }_3)}{(\phi -{\phi }_3)({\phi }_2-{\phi }_1)}}$

とおく（複比と呼ばれる）．このとき

${\displaystyle \frac{d}{dx}}(\phi ,{\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3)=0$

を示せ．

(3)　(2)より

$(\phi ,{\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3)=K$（定数）

となる．これより$\phi$を$K$と${\phi }_1\text{，}{\phi }_2\text{，}{\phi }_3$を用いて表せ（分子と分母に$K$が含まれるようにせよ）．