2009　名古屋市立大　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=\min (2x+4,|x-2|)$および$g(x)=-x^2+k$（$k$は定数）について，次の問いに答えよ．ただし$\min (a,b)$は$a$と$b$の大きくない方を表す．

(1)　$y=f(x)$のグラフを書け．

(2)　 $y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの交点の個数を求めよ．

(3)　$y=g(x)$が点$(-2,0)$を通るとき，$x\geqq -2$の範囲で積$f(x)g(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

【２】　$1$から$12$の数字が書かれたカードが$1$枚ずつある．この中から無作為に$2$枚を取り出して得点を計算する．

基本ルール：$2$の倍数のカード$1$枚につき，$1$点獲得する．

次の問いに答えよ．

(1)　得点の期待値を求めよ．

(2)　次のルールを追加する．

追加ルール$\mathrm{A}$：基本ルールで計算した得点に$3$の倍数のカードの枚数と同じ回数だけ$2$をかける．

このルールのもとでの得点の期待値を求めよ．

(3)　さらに次のルールを追加する．

追加ルール$\mathrm{B}$：$6$の倍数のカ−ドが含まれているなら(2)のもとで計算した得点に$6$点を加える．

このルールのもとでの得点の期待値を求めよ．

【３】　自然数$1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n$から異なる$2$つを選ぶすべての組合せについて，$2$数の差の$2$乗をたし合わせたものを$S_n$とする．例えば

$S_3={(1-2)}^2+{(1-3)}^2+{(2-3)}^2=6$

である．次の問いに答えよ．

(1)　$S_5$を求めよ．

(2)　${(x-1)}^4-x^4=-4x^3+6x^2-4x+1$を利用して${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^3$を$n$で表せ．

(3)　$S_n$を求めよ．

【４】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．線分$\mathrm{OA}$を$s:(1-s)$に内分する点を$L\text{，}$線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{LM}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{POM}=\theta$とする．$\angle \mathrm{OPM}=90°\text{，}\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　直角三角形$\mathrm{OPM}$において，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　平面$\mathrm{OPC}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【１】　$x$についての方程式${({\log }_{2}x)}^3-6{\log }_{\sqrt{2}}x+k=$が異なる$2$つの解をもつとき，$k$の値と解を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{OAB}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{7}$が成り立つ．次の問いに答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$▵\mathrm{OAB}$の外接円上を動くとき，$▵\mathrm{PAB}$の面積の最大値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{O}$を中心とし，半径$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|$の円上を動くとき，$▵\mathrm{QAB}$の面積の最大値を求めよ．

【３】　$xy$平面上で$x$軸上の動点$\mathrm{A}(a,0)$と$y$軸上の動点$\mathrm{B}(0,b)$が，$a+b=1\text{，}0\leqq a\leqq 1\text{，}0\leqq b\leqq 1$を満たしながら動いている．次の問いに答えよ．

(1)　$0<p\leqq 1$とする．直線$\mathrm{AB}$と直線$x=p$の交点の$y$座標の最大値を$p$で表せ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の通る領域を$x$軸の周りに$1$回転した立体を$V_1\text{，}{V}_1$を$y$軸の周りに$1$回転した立体を$V_2$とする．$V_1$と$V_2$の体積比を求めよ．

【４】　$n$を$4$以上の自然数とする．和が$n$となる$2$つ以上の自然数の組合せを考え，その積の最大値を$M(n)$とおく．例えば$n=4$のとき，和が$n$となる自然数の組合せは$(1,1,1,1)\text{，}(2,1,1)\text{，}(3,1)\text{，}(2,2)$であるが，この積の最大値は$2\times 2=4$の時であるから$M(4)=4$となる．次の問いに答えよ．

(1)　$M(8)$を求めよ．

(2)　$M(12)$を求めよ．

(3)　$M(n)$を求めよ．

【１】　図のような一辺の長さが$1$の正六角形の頂点に中心を加えた$7$つの点を考える．この$7$点から無作為に異なる$3$点を選び，直線で結んだときにできる図形$A$について，次の問いに答えよ．

(1)　図形$A$が正三角形となる確率，直角三角形となる確率，三角形とならない確率をそれぞれ求めよ．

(2)　図形$A$の面積の期待値を求めよ．ただし，三角形とならない場合は面積を$0$とする．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数として，行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ b& c\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$が関係式$A^2-4A+8E=O$を満たしている．次の問いに答えよ．

(1)　$b\text{，}c$を$a$で表せ．

(2)　$A^2=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$とするとき，$y$を求めよ．

(3)　$A^n=kE$となる最小の自然数$n$および実数$k$を求めよ．

【３】　一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，線分$\mathrm{OA}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{L}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{LM}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{OP}$の長さを$t$で表せ．

(2)　$\angle \mathrm{POM}=\theta$とし，$\cos ={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}$となるときの$t$の値を求めよ．

【４】　$a$は$0<a<\pi$を満たす定数とする．

$y=|x-a|{\sin }^{2}x\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$

のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．