2009　名古屋市立大　後期経済学部MathJax

【１】　関数$y=f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-4x$のグラフについて，次の問いに答えよ．

(1)　このグラフ上の点$(p,f(p))$における接線の方程式を求めよ．

(2)　$a$を実数とする．点$(2,a)$からこのグラフに引くことのできる接線の本数を求めよ．

(3)　このグラフに$3$本の接線を引くことができる点全体からなる領域を求め，図示せよ．

【２】　辺の長さが$\mathrm{OA}=4\text{，}\mathrm{OB}=\sqrt{10}\text{，}\mathrm{AB}=3\sqrt{2}$である三角形$\mathrm{OAB}$について，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{X}$が$3$頂点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$から等距離にあるとき，線分$\mathrm{AX}$の長さを求めよ．

(2)　点$\mathrm{Y}$が$d={\mathrm{OY}}^2+{\mathrm{AY}}^2+{\mathrm{BY}}^2$を最小とするときの線分$\mathrm{OY}\text{，}\mathrm{AY}\text{，}\mathrm{BY}$の長さを求めよ．

(3)　点$Z$が$h=\max (\mathrm{OZ},\mathrm{AZ},\mathrm{BZ})$を最小とするとき，線分$\mathrm{OZ}\text{，}\mathrm{AZ}\text{，}\mathrm{BZ}$の長さを求めよ．ただし，$\max (a,b,c)$は$a\text{，}b\text{，}c$の最大値を表す．

【３】　表の出る確率が$p\text{（}0<p<1\text{）}$のコインがある．点$\mathrm{M}$は初め数直線上の原点にある．このコインを投げるたびに点$\mathrm{M}$を次のように動かす．

　表が出たら$+1$進め，裏が出たら原点にもどす．

　$n$回コインを投げた後に，点$\mathrm{M}$の座標が$k$である確率を$P_n(k)$として，次の問いに答えよ．

(1)　$P_n(k)$（$k$は$0$以上の整数）の値を$k>n\text{，}k=n\text{，}k<n$の場合に分けて答えよ．

(2)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{p}^k$を求めよ．

(3)　$p={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，点$\mathrm{M}$の原点からの距離の期待値$E_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{P}_n(k)$を求めよ．

【４】　$k\text{，}m$は$0<k-m\sqrt{2}<1$を満たす自然数とする．実数${(k+m\sqrt{2})}^3$の整数部分を$\alpha \text{，}$小数部分を$\beta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　${(k+m\sqrt{2})}^3+{(k-m\sqrt{2})}^3$が偶数となることを示せ．

(2)　$\alpha$は奇数であること，および${(k-m\sqrt{2})}^3=1-\beta$であることを示せ．

(3)　$\alpha =197$のとき，$k\text{，}m$を求めよ．