2009　名古屋市立大　中期MathJax

【１】　表が出る確率が$p\text{，}$裏がでる確率が$1-p$であるコインが$1$枚ある．このコインを投げた結果にしたがって，次のルールで球を袋に出し入れする．最初，袋には何も入っていないものとする．

ルール：表が出た場合，袋の中に球があれば$1$個取り除き，球がなければ何もしない．裏が出た場合，球を$1$個袋に入れる．

この試行を繰り返すとき，次の問いに答えよ．

(1)　$3$回目の試行が終了した時点で，袋に入っている球の数の期待値を求めよ．

(2)　$5$回目の試行が終了した時点で，袋に球が入っている確率を求めよ．

(3)　$p={\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．$n$回目の試行が終了した時点で，袋に球が$k$個入っている確率を求めよ．

【２】　$xyz$空間内の$2$点$\mathrm{P}(0,-1,1)$と$\mathrm{Q}(1,0,-1)$を通る直線を$l$とし，直線$l$を$z$軸の周りに$1$回転してできる曲面と$2$つの平面$z=1$および$z=-1$で囲まれた立体を$A$とする．次の問いに答えよ．

(1)　立体$A$を平面$z=0$で切った断面$B$の面積$S_1$を求めよ．

(2)　立体$A$の体積$V$を求めよ．

(3)　立体$A$を平面$z=x$で切った断面$C$の面積$S_2$を求めよ．

【３】　$xyz$空間内に一辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$がある．点$\mathrm{A}(0,0,1)$であり，$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の$z$座標は等しい．点$\mathrm{P}(0,0,1+\sqrt{3})$にある光源が$xy$平面上に作る正三角形$\mathrm{ABC}$の影を三角形$\mathrm{O}{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$とする．$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\angle \mathrm{PAM}=\theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{O}{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の面積$S$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　面積$S$が最大値をとるときの$\cos \theta$の値を求めよ．