2009　大阪市立大学　前期MathJax

【１】　実数$t$対して，放物線$y=x^2+1$の点$\mathrm{A}(t,t^2+1)$における接線を$l_1$とし，また点$\mathrm{B}(t+1,{(t+1)}^2+1)$における接線を$l_2$とする．$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$l_1$と$l_2$の方程式および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

問２　この放物線と$l_1\text{，}{l}_2$で囲まれる部分の面積は$t$によらないことを示せ．

問３　${\mathrm{AB}}^2+2{\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2$が最小となるような$t$の値を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は，

${\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}{b}_n=a_n+2a_{n-1}+3a_{n-2}+\cdots +n{a}_1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

という関係を満たしているとする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$n$は$2$以上の自然数とする．このとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を$n\text{，}{b}_n\text{，}{b}_{n-1}$を用いて表せ．

問２　$\{b_n\}$が初項$b_1=p\text{，}$公差$q$の等差数列であるとき，$a_n$を$n\text{，}p\text{，}q$を用いて表せ．

【３】　$xy$平面の原点を$\mathrm{O}$とする．$xy$平面上の$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}$に対し，直線$\mathrm{OP}$上の点$\mathrm{Q}$を，次の条件(a)，(b)を満たすようにとる．

• (a)　$\mathrm{OP}\cdot \mathrm{OQ}=4$
• (b)　$\mathrm{Q}$は，$\mathrm{O}$に関して$\mathrm{P}$と同じ側にある．

　点$\mathrm{P}$が直線$x=1$の上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めて，図示せよ．

【４】　$n$は$0$または自然数とする．「右」と書かれたカードを$1$枚，「左」と書かれたカードを$1$枚，無地のカードを$n$枚用意する．数直線上で点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$を出発点とし，これら$n+2$枚のカードの中から無作為に$1$枚引き，そのカードが「右」のカードであれば右へ$1$だけ移動し，「左」のカードであれば左へ$1$だけ移動することとし，無地のカ−ドであればそのまま動かないこととする．ただし，カードは，$1$回引くたびに元に戻すこととする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　カードを$2$回引いた時点で，点$\mathrm{P}$が原点にある確率を求めよ．

問２　問１の確率が最小となる$n$を求めよ．

問３　カードを$4$回引いた時点で，点$\mathrm{P}$が原点にある確率を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

問１　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$\sin x\geqq {\displaystyle \frac{2}{\pi }}x$であることを示せ．

問２　次の等式が成り立つことを示せ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^{-n\sin x}dx=0$

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$

とする．$0\leqq t\leqq 1$なる実数$t$に対して，点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t\overrightarrow{c}$により定める．三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$S(t)$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　$S(0)$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

問２　$S(1)$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

問３　$\mathrm{O}=(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}=(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}=(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}=(1,1,1)$とするとき，$0\leqq t\leqq 1$において$S(t)$が最小となる$t$を求めよ．

【３】　$xy$平面の原点を$\mathrm{O}$とする．$xy$平面上の$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}$に対し，直線$\mathrm{OP}$上の点$\mathrm{Q}$を，次の条件(a)，(b)を満たすようにとる．

• (a)　$\mathrm{OP}\cdot \mathrm{OQ}=4$
• (b)　$\mathrm{Q}$は，$\mathrm{O}$に関して$\mathrm{P}$と同じ側にある．

　このとき，次の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{P}$が直線$x=1$の上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めて，図示せよ．

問２　$a>r>0$とする．点$\mathrm{P}$が円${(x-a)}^2+y^2=r^2$の上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡が円であることを示し，その中心の座標と半径を求めよ．

【４】　一般に$2$次の正方行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$に対して，$\Delta (A)=ad-bc$と表すことにする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$2$次の正方行列$A\text{，}B$に対して，

$\Delta (AB)=\Delta (A)\Delta (B)$

が成り立つことを示せ．

問２　自然数$n$に対して，

$\Delta (A^n)={\Delta (A)}^n$

が成り立つことを示せ．

問３　$n$は正の偶数とする．実数を成分とする$2$次の正方行列$A$で

$A^n=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

を満たすものは存在しないことを示せ．

問４　$n$は正の奇数とする．実数を成分とする$2$次の正方行列$A$で

$A^n=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

を満たすものを$1$つ求めよ．