2009 大阪府立大学 前期

Mathematics

Examination

Test

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2009-11561-0101(解答は川村先生サイトで)

2009 大阪府立大学 前期

生命環境科学部,経済学部

易□ 並□ 難□

【1】 数字 1 が書かれたカードが 2 枚,数字 2 が書かれたカードが 3 枚,数字 3 が書かれたカードが 4 枚ある.これらのカードをよくかきまぜて 1 枚ずつ順に取りだし,左から順に並べてできる 9 桁の自然数を N とする.また N の数字の並びを逆にした自然数を N とする.たとえば N= 112223333 の場合 N =333322211 となる.以下の問いに答えよ.

(1)  N の値は何通りあるか.

(2)  N が偶数となる確率を求めよ.

(3)  N 4 の倍数となる確率を求めよ.

(4)  N=N となる確率を求めよ.

2009-11561-0102(解答は川村先生サイトで)

2009 大阪府立大学 前期

生命環境科学部,経済学部

易□ 並□ 難□

2009年大阪府立大生命環境科学部,経済学部【2】の図

【2】 五角形 ABCDE において AB= BC=DE= EA=1 A=135° B =E= 90° とする.以下の問いに答えよ.

(1) 内積 AB AC AB AE を求めよ.

(2)  AC =α AB+ βAE となる実数 α β を求めよ.

(3) 実数 s t に対して,点 P AP =s AB +t AE により定める.点 P 2 C D を通る直線上にあるための s t の条件を求めよ.

2009-11561-0103(解答は川村先生サイトで)

2009 大阪府立大学 前期

生命環境科学部

易□ 並□ 難□

【3】  n=1 2 3 に対して,座標平面上の点 Pn (x n,y n) を以下のように定める.

( x1 y1 )= (1 1 ) ( xn +1 yn +1 )= 12 ( 11 -1 1) ( xn yn )

また, n=1 2 3 に対して,座標平面上の点 Qn (α n,β n)

により定める.以下の問いに答えよ.

(1) 点 Q2 Q3 の座標を求めよ.

(2)  OP n O Pn+ 2 は直交することを示せ.

(3)  limn αn lim n β n を求めよ.

2009-11561-0104(解答は川村先生サイトで)

2009 大阪府立大学 前期

経済学部

易□ 並□ 難□

【3】  n=1 2 3 に対して,座標平面上の点 Pn (x n,y n) を以下のように定める.

{ x1= 1 y1=1 { x n+1 =xn +yn y n+1 =-x n+y n

 以下の問いに答えよ.

(1) 点 P2 P3 P 4 の座標を求めよ.

(2) 線分 OP n の長さを求めよ.

(3)  OP n O Pn+ 2 は直交することを示せ.

(4) 線分 P nP n+2 の長さを an とおく. k= 1n ak を求めよ.

2009-11561-0105(解答は川村先生サイトで)

2009 大阪府立大学 前期

生命環境学部

易□ 並□ 難□

【4】  θ を定数とし, f(x )=sin (x+θ ) と定める.関数 g (x)

0π g (x) 2d x=1 0π g (x) cosx dx= 0π g( x)sin xdx= 0

を満たすとき,以下の問いに答えよ.

(1)  0π f (x) 2d x を求めよ.

(2) 曲線 y= f(x )-g (x) 0 xπ x 軸および 2 直線 x= 0 x=π で囲まれた図形を, x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めよ.

2009-11561-0106(解答は川村先生サイトで)

2009 大阪府立大学 前期

経済学部

易□ 並□ 難□

【4】  k を定数とし,

とおく. 2 つの曲線 y= f(x ) y= g(x ) が相異なる 2 点で交わっているとき,これらの曲線で囲まれた部分の面積を S (k) とする.以下の問いに答えよ.

(1)  2 つの曲線 y= f(x ) y= g(x ) が相異なる 2 点で交わるための k の条件を求めよ.

(2)  S(k ) を求めよ.

(3)  S(k ) が最大となる k の値を求めよ.

2009-11561-0107(解答は川村先生サイトで)

2009 大阪府立大学 前期

理学部

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x)= (x+1 )e 2x- 1 について,次の問いに答えよ.ただし, e は自然対数の底とする.

(1)  x>1 のとき, f(x )>2 ex が成り立つことを示せ.

(2)  x<1 のとき, f(x )<2 ex が成り立つことを示せ.

(3)  2 つの曲線 y=2 ex y =f( x) および y 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.

2009-11561-0108(解答は川村先生サイトで)

2009 大阪府立大学 前期

理学部

易□ 並□ 難□

【2】  z1= 2 z2 = -1+ 3 i2 とし,複素数 z1 z2 z3 z4

zn2 =zn +1 zn- 1 n =2 3 4

を満たすとする.このとき,次の問いに答えよ.ただし, i は虚数単位とする.

(1)  z2 2 z 23 を求めよ.

(2)  n=1 2 3 について, zn の実部を an とし,虚部を bn とする.このとき, an bn n を用いて表せ.

(3)  limn an および lim n bn を求めよ.

2009-11561-0109(解答は川村先生サイトで)

2009 大阪府立大学 前期

理学部

易□ 並□ 難□

【3】 四角形 ABCD の頂点 A B C D の位置ベクトルをそれぞれ a b c d とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  ABC の重心を G とする. GD a b c d を用いて表せ.

(2) 線分 GD 2: 3 に内分する点を P とし,線分 AC の中点を M とする.線分 MD の中点を Q とするとき, 3 B P Q は一直線上にあることを示せ.

(3) 点 M と点 P が一致するとき, ABC ACD の面積比を求めよ.

2009-11561-0110(解答は川村先生サイトで)

2009 大阪府立大学 前期

理学部

易□ 並□ 難□

【4】  m m 0 でない実数とする. P を平面上の点とし,原点を通る直線 y= mx y= m x を,それぞれ l l とする.点 P を通り l と垂直な直線を引き,その直線と l との交点を Q とする.また,点 P を通り l と垂直な直線を引き,その直線と l との交点を Q とする.

(1) 点 P の座標を (x1 ,y1 ) とし,点 Q の座標を (x2 ,y2 ) とする.このとき, x2 y2 x 1 y 1 m を用いて表せ.

(2) 点 P を点 Q に移す移動を表す行列 A を求めよ.

(3) 点 P を点 Q に移す移動を表す行列を A とする. A+A =E となるとき, m m を用いて表せ.ただし, E は単位行列とする.