2009 大阪府立大学 中期

Mathematics

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2009 大阪府立大学 中期

工学部

易□ 並□ 難□

【1】

(1)  a a 1 である正の定数とするとき,関数

f(x )=loga (1 +loga x)

の定義域と微分係数 f (a ) a を用いて表せ.

 (計算の過程を記入しなくてよい.)

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易□ 並□ 難□

【1】

(2) 自然数 n に対して,

bn= 1 1+2 1+3 2+ 21+ 32+ 52 ++ n1+ 32+ 52+ +(2 n-1 )2

と定めるとき,極限値 lim n b n を求めよ.

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【2】  k を定数とする. - π2 <x< π 2 において, 2 曲線

C1: y=k cosx C2 :y= 1 cosx

2 点で交わっているとする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 定数 k の値の範囲を求めよ.

(2)  2 曲線 C1 C2 2 つの交点のうち, x 座標が正である交点を P とし,交点 P における C1 C2 の接線の傾きをそれぞれ m 1 m2 とする.このとき, m2 =-m1 が成り立つことを示せ.

(3)  k=2 のとき, 2 曲線 C1 C2 で囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 V を求めよ.

 ((1)については計算の過程を記入しなくてよい.)

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【3】 点 O( 0,0, 0) を原点とする座標空間の 4 A (-1 ,0,3 ) B( 1,-1 ,-1) C (-1 ,-4, 3) D( 4,1, -2) の位置ベクトルをそれぞれ a b c d とする.また, 2 つのベクトル a b の両方に垂直な単位ベクトルを e とし, 2 つのベクトル c d の両方に垂直な単位ベクトルを f とする.さらに,空間内に点 P があり,点 P の位置ベクトル p

p =α a +β b +γ e α β γ は定数)

であるとする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  e f を成分表示せよ.

(2) 実数 s t u に対して,等式

| sa +t b +u e | 2= |s a +t b | 2+u 2

が成り立つことを示せ.

(3) 空間内に点 Q があり,点 Q の位置ベクトル q

q =s a+ tb s t は実数)

であるとする.実数 s t を動かすとき, |PQ | の最小値は | γ| であることを示せ.この最小値を点 P と平面 OAB との距離という.ただし,平面 OAB とは 3 O A B を通る平面である.

(4) 点 P と平面 OAB との距離を内積 p e を用いて表せ.

(5)  p の成分表示を p =(l, m,n) とする.点 P と平面 OCD との距離が点 P と平面 OAB との距離に等しくなるための必要十分条件を l m n を用いて表せ.

 ((1)については計算の過程を記入しなくてよい.)

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【4】  1 秒ごとに 1 つの整数が表示される装置がある.整数 k が表示されたとき,次の規則(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)にしたがって 1 秒後の整数が装置に表示される.

 整数 -3 が表示されてから n 秒後に表示される整数を Xn とするとき, | Xn | =2 となる確率を an とし, | Xn |=1 となる確率を bn とする.また,整数 -3 が表示されてから n 秒後に初めて 0 が表示される確率を cn とする.ただし, n 2 以上の整数である.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 確率 a2 b2 c2 をそれぞれ求めよ.

(2) すべての n に対して, ( an+ 1 bn+ 1 )=Q ( an bn ) を満たす行列 Q を求めよ.

(3) 行列 P P= (1 1 2-1 ) とする. P-1 P -1 QP を求めよ.

(4)  Qn n を用いて表せ.

(5) 確率 an bn および cn n を用いて表せ.

 ((1),(2),(3)については計算の過程を記入しなくてよい.)

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【5】  a>1 0<θ <1 とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 積分

Ia (θ)= 0( 1-θ) π sin ax sinx dx

を計算し, Ia (θ) a θ を用いて表せ.

(2) 極限

limx π sina xsin x

が正の値に収束するための a の条件を求めよ.

(3) (2)の条件を満たす a に対して,極限

limθ +0 sin{a (1-θ )π} θ

a を用いて表せ.

(4) (2)の条件を満たす a に対して,極限

limθ +0 1θ3 Ia (θ)

a を用いて表せ.なお, x0 であるすべての x に対して,

x- 16 x3 sinx x- 16 x3+ 1 120 x5

が成り立つことを用いてもよい.