2009　大阪府立大学　中期MathJax

【１】

(1)　$a$を$a\ne 1$である正の定数とするとき，関数

$f(x)={\log }_a(1+{\log }_{a}x)$

の定義域と微分係数$f^{\prime }(a)$を$a$を用いて表せ．

　（計算の過程を記入しなくてよい．）

【１】

(2)　自然数$n$に対して，

$b_n={\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{2}{1+3^2}+\frac{2}{1+3^2+5^2}+\cdots +\frac{n}{1+3^2+5^2+\cdots +{(2n-1)}^2}}$

と定めるとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

【２】　$k$を定数とする．$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において，$2$曲線

$C_1:y=k\cos x\text{，}{C}_2:y={\displaystyle \frac{1}{\cos x}}$

が$2$点で交わっているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　定数$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　$2$曲線$C_1$と$C_2$の$2$つの交点のうち，$x$座標が正である交点を$\mathrm{P}$とし，交点$\mathrm{P}$における$C_1\text{，}{C}_2$の接線の傾きをそれぞれ$m_1\text{，}{m}_2$とする．このとき，$m_2=-m_1$が成り立つことを示せ．

(3)　$k=2$のとき，$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

　（(1)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【３】　点$\mathrm{O}(0,0,0)$を原点とする座標空間の$4$点$\mathrm{A}(-1,0,3)\text{，}$$\mathrm{B}(1,-1,-1)\text{，}$$\mathrm{C}(-1,-4,3)\text{，}$$\mathrm{D}(4,1,-2)$の位置ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$とする．また，$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$の両方に垂直な単位ベクトルを$\overrightarrow{e}$とし，$2$つのベクトル$\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$の両方に垂直な単位ベクトルを$\overrightarrow{f}$とする．さらに，空間内に点$\mathrm{P}$があり，点$\mathrm{P}$の位置ベクトル$\overrightarrow{p}$は

$\overrightarrow{p}=\alpha \overrightarrow{a}+\beta \overrightarrow{b}+\gamma \overrightarrow{e}\text{（}\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma \text{は定数）}$

であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{e}\text{，}\overrightarrow{f}$を成分表示せよ．

(2)　実数$s\text{，}t\text{，}u$に対して，等式

${|s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{e}|}^2={|s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|}^2+u^2$

が成り立つことを示せ．

(3)　空間内に点$\mathrm{Q}$があり，点$\mathrm{Q}$の位置ベクトル$\overrightarrow{q}$は

$\overrightarrow{q}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\text{（}s\text{，}t\text{は実数）}$

であるとする．実数$s\text{，}t$を動かすとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$の最小値は$|\gamma |$であることを示せ．この最小値を点$\mathrm{P}$と平面$\mathrm{OAB}$との距離という．ただし，平面$\mathrm{OAB}$とは$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る平面である．

(4)　点$\mathrm{P}$と平面$\mathrm{OAB}$との距離を内積$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{e}$を用いて表せ．

(5)　$\overrightarrow{p}$の成分表示を$\overrightarrow{p}=(l,m,n)$とする．点$\mathrm{P}$と平面$\mathrm{OCD}$との距離が点$\mathrm{P}$と平面$\mathrm{OAB}$との距離に等しくなるための必要十分条件を$l\text{，}m\text{，}n$を用いて表せ．

　（(1)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【４】　$1$秒ごとに$1$つの整数が表示される装置がある．整数$k$が表示されたとき，次の規則(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)にしたがって$1$秒後の整数が装置に表示される．

• 規則(ⅰ)　$k>0$の場合には，$k-1\text{，}k-2\text{，}k-3$のいずれかが表示され，それぞれの整数が表示される確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$である．
• 規則(ⅱ)　$k<0$の場合には，$k+1\text{，}k+2\text{，}k+3$のいずれかが表示され，それぞれの整数が表示される確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$である．
• 規則(ⅲ)　$k=0$の場合には，$0$が表示される．

　整数$-3$が表示されてから$n$秒後に表示される整数を$X_n$とするとき，$|X_n|=2$となる確率を$a_n$とし，$|X_n|=1$となる確率を$b_n$とする．また，整数$-3$が表示されてから$n$秒後に初めて$0$が表示される確率を$c_n$とする．ただし，$n$は$2$以上の整数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　確率$a_2\text{，}{b}_2\text{，}{c}_2$をそれぞれ求めよ．

(2)　すべての$n$に対して，$\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ b_{n+1}\end{array}\right)=Q\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)$を満たす行列$Q$を求めよ．

(3)　行列$P$を$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right)$とする．$P^{-1}$と$P^{-1}QP$を求めよ．

(4)　$Q^n$を$n$を用いて表せ．

(5)　確率$a_n\text{，}{b}_n$および$c_n$を$n$を用いて表せ．

　（(1)，(2)，(3)については計算の過程を記入しなくてよい．）

【５】　$a>1\text{，}0<\theta <1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　積分

$I_a(\theta )={\displaystyle {\int }_0^{(1-\theta )\pi }}\sin ax\sin xdx$

を計算し，$I_a(\theta )$を$a$と$\theta$を用いて表せ．

(2)　極限

$\underset{x\to \pi }{\lim }{\displaystyle \frac{\sin ax}{\sin x}}$

が正の値に収束するための$a$の条件を求めよ．

(3)　(2)の条件を満たす$a$に対して，極限

$\underset{\theta \to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin \{a(1-\theta )\pi \}}{\theta }}$

を$a$を用いて表せ．

(4)　(2)の条件を満たす$a$に対して，極限

$\underset{\theta \to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{{\theta }^3}}{I}_a(\theta )$

を$a$を用いて表せ．なお，$x\geqq 0$であるすべての$x$に対して，

$x-{\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^3\leqq \sin x\leqq x-{\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^3+{\displaystyle \frac{1}{120}}{x}^5$

が成り立つことを用いてもよい．