2009　東北学院大学　前期文系全学部MathJax

【１】　$a$を正の定数とする．関数$y=x^2-2ax+1$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　この関数のグラフの頂点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　この関数のグラフを$x$軸方向に$-2\text{，}y$軸方向に$3$だけ平行移動した放物線が原点$(0,0)$を通るとき，$a$の値を求めよ．

(ⅲ)　この関数の$0\leqq x\leqq 2$における最小値を求めよ．

(ⅳ)　この関数の$0\leqq x\leqq 2$における最大値と最小値の和が$0$であるとき，$a$の値を求めよ．

【２】　$x=\sqrt{5+\sqrt{21}}\text{，}y=\sqrt{5-\sqrt{21}}$のとき，次の式の値を求めよ．

• (ⅰ)　$x^2+y^2$
• (ⅱ)　$xy$
• (ⅲ)　$x+y$
• (ⅳ)　$x-y$

【３】　$3$次方程式$x^3+a{x}^2-7x+b=0$の$1$つの解が$2+i$であるとき，実数の定数$a\text{，}b$の値を求めよ．また，他の解を求めよ．

【４】　不等式$(x^2+y^2-9)(x^2+y^2-4x)\leqq 0$の表す領域を$D$とする．

(ⅰ)　領域$D$を図示せよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$が領域$D$を動くとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{A}(1,1)$の距離の最大値と最小値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　${23}^5$を$3$で割ったときの余りを求めよ．

(ⅱ)　$n$を自然数とするとき，$n^6$を$3$で割ったときの余りは，$0$または$1$であることを証明せよ．

【６】　数列

${\displaystyle \frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{1},\frac{1}{3},\frac{2}{2},\frac{3}{1},\frac{1}{4},\frac{2}{3},\frac{3}{2},\frac{4}{1},\frac{1}{5}},\cdots$

について次の問いに答えよ．

(ⅰ)　第$50$項を求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{13}{19}}$は第何項か．

(ⅲ)　初項から第$200$項までのうちで，値が$1$に等しい項はいくつあるか．