2009　東北学院大学　前期工学部全学部MathJax

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　$2^n<{10}^6<2^{n+1}$を満たす自然数$n$を求めると$n=\boxed{\text{（ア）}}$である．ただし${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\sin \theta \cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，${\cos }^2\theta =\boxed{\text{（イ）}}$である．

【１】　次の各問題の$\boxed{}$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　$a>0$および$b$を定数とする．$3$次関数$f(x)=2a{x}^3-3a{x}^2-12ax+b$が極大値$9\text{，}$極小値$-18$を取るとき$(a,b)=\boxed{\text{（ウ）}}$である．

【２】　数直線上を動く点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$から出発し，サイコロの出る目が

• (ア)　$1\text{，}2\text{，}3$いずれかであれば$+1$だけ，
• (イ)　$4\text{，}5$いずれかであれば$+2$だけ，
• (ウ)　$6$であれば$-2$だけ

動く．このとき以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　サイコロを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$がちょうど原点$\mathrm{O}$にくる確率を求めよ．

(ⅱ)　サイコロを$6$回投げたとき，点$\mathrm{P}$がちょうど原点$\mathrm{O}$にくる確率を求めよ．

(ⅲ)　サイコロを$2$回投げたとき，点$\mathrm{P}$の座標が正である確率を求めよ．

【３】　自然数$n$に対し，以下の等式で整数$a_n\text{，}{b}_n$を定める．

${(1+\sqrt{3})}^n=a_n+\sqrt{3}{b}_n$

このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_2\text{，}{b}_2\text{，}{a}_3\text{，}{b}_3$を求めよ．

(ⅱ)　$a_{n+1}$および$b_{n+1}$を，$a_n\text{，}{b}_n$を用いて表せ．

(ⅲ)　$a_n$および$b_n$を，$n$の式で表せ．

【４】　$0\leqq x\leqq \pi$で定義された関数

$f(x)={\sin }^{3}x-{\cos }^{3}x$

について以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．

(ⅲ)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(x)dx$を求めよ．