2009　学習院大学　理学部MathJax

【１】　不等式

$\sqrt{4x-x^2}>3-x$

を満たす$x$の範囲を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{OAB}$において$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．$0<p<1\text{，}0<q<1$を満たす$p\text{，}q$に対して，辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{D}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=p\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OD}}=q\overrightarrow{b}$

となるように定める．$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{OM}$の延長と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{N}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$を満たす$x\text{，}y$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=z\overrightarrow{a}+w\overrightarrow{b}$を満たす$z\text{，}w$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

【３】　関数$y=x-(\sin x+\sqrt{3}\cos x)$の，区間$-\pi \leqq x\leqq \pi$における最大値，最小値と，それらを与える$x$の値を求めよ．

【４】　点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}})$における円$x^2+y^2=1$の接線を$l$とする．

(1)　放物線$y=a{x}^2+b$が$\mathrm{P}$を通り，$l$を接線とするように$a\text{，}b$を定めよ．

(2)　(1)で定めた$a\text{，}b$に対して，平面上の点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を$\mathrm{A}(0,1)\text{，}\mathrm{B}(0,b)$とする．$y$軸の右側にある円弧$\mathrm{AP}\text{，}$放物線の一部である曲線$\mathrm{PB}\text{，}$および$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)　(2)の図形を$y$軸に関して$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．