2009　慶応義塾大学　薬学部MathJax

【１】

(1)　$a$を実数とするとき，$3$次方程式$x^3+a{x}^2-3x+10=0$の解の$1$つが$x=2-i$（$i$は虚数単位）である．このとき，$a$の値は$\boxed{\text{(1)(2)}}$であり，この方程式の実数解は$x=\boxed{\text{(3)(4)}}$である．

【１】

(2)　$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で定義された$2$つの関数

• (ⅰ)　$f(x)=\sqrt{3}\sin x+3\cos x$
• (ⅱ)　$g(x)=3{\sin }^{2}x+6\sqrt{3}\sin x\cos x+9{\cos }^{2}x-2\sqrt{3}\sin x-6\cos x$

がある．このとき，$f(x)$がとりうる値の範囲は，

$\boxed{\text{(5)(6)}}\leqq f(x)\leqq \boxed{\text{(7)}}\sqrt{\boxed{\text{(8)}}}$

$g(x)$がとりうる値の範囲は，$\boxed{\text{(9)(10)}}\leqq g(x)\leqq \boxed{\text{(11)(12)}}$である．

【１】

(3)　$2$点$\mathrm{A}(3,1)\text{，}\mathrm{B}(1,4)$と，円${(x-1)}^2+{(y+2)}^2=4$がある．この円上を動く点$\mathrm{P}$と，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とでできる$▵\mathrm{ABP}$の面積の最小値は$\boxed{\text{(13)}}-\sqrt{\boxed{\text{(14)(15)}}}\text{，}$最大値は$\boxed{\text{(16)}}+\sqrt{\boxed{\text{(17)(18)}}}$である．

【１】

(4)　$\sin 18°={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(19)}}}-\boxed{\text{(20)}}}{\boxed{\text{(21)}}}}$であり，$\cos 18°={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{(22)(23)}}+\boxed{\text{(24)}}\sqrt{\boxed{\text{(25)}}}}}{\boxed{\text{(26)}}}}$である．

【１】

(5)　${12}^{60}$は$\boxed{\text{(27)(28)}}$桁の整数である．また，その最高位の数字は$\boxed{\text{(29)}}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【２】　$xy$平面において，$2$つの放物線$y=x^2+ax\text{，}y=x^2-2ax\text{，}$およびこの$2$つの放物線と接する直線$l$がある．ただし，$a$は正の定数とする．

(1)　$l$の方程式は，$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(30)(31)}}}{\boxed{\text{(32)}}}}ax-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(33)}}}{\boxed{\text{(34)(35)}}}}{a}^2$である．

(2)　この$2$つの放物線と接線$l$で囲まれる図形の面積$S$を$a$の式で表すと，$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(36)}}}{\boxed{\text{(37)(38)}}}}{a}^{\boxed{\text{(39)}}}$である．

【３】　$1$から$n$までの自然数が$1$つずつ書かれた$n$枚のカードがある．ただし，$n\geqq 3$とする．これらのカードをよくまぜて$1$枚取り出したとき，そのカードに書かれた数字を$x_1$とする．次にこのカードをもとに戻してからよくまぜて，$1$枚のカードを取り出し，そのカードに書かれた数字を$x_2$とする．同様の手順をあと$2$回行い，$3$回目および$4$回目に取り出したカードに書かれた数字をそれぞれ$x_3\text{，}{x}_4$とする．

(1)　$n=12$のとき，$x_1<x_2$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(40)(41)}}}{\boxed{\text{(42)(43)}}}}$である．

(2)　$n=12$のとき，$x_1<x_2\leqq x_3$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(44)(45)(46)}}}{\boxed{\text{(47)(48)(49)}}}}$である．

(3)　$x_1<x_2<x_3$かつ$x_3>x_4$となる確率を${\displaystyle \frac{f(n)}{n^4}}$とすると，$f(n)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{(50)}}}{\boxed{\text{(51)}}}{n}^4-\frac{\boxed{\text{(52)}}}{\boxed{\text{(53)(54)}}}{n}^3+\frac{\boxed{\text{(55)}}}{\boxed{\text{(56)}}}{n}^2-\frac{\boxed{\text{(57)}}}{\boxed{\text{(58)(59)}}}n}$である．

【４】　空間に$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0-2,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,4)$がある．$▵\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$を通り平面$\mathrm{ABC}$に垂直な直線をひき，この直線上に点$\mathrm{Q}$をとる．

(1)　$\mathrm{P}$の$x$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(60)}}}{\boxed{\text{(61)(62)}}}}$である．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円上の$1$つの点を$\mathrm{R}$とする．$\angle \mathrm{PRQ}=60°$のとき，$\mathrm{Q}$の$x$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(63)}}}{\boxed{\text{(64)(65)}}}\pm \frac{\boxed{\text{(66)(67)}}\sqrt{\boxed{\text{(68)(69)}}}}{\boxed{\text{(70)(71)}}}}$である．

(3)　(2)のとき，四面体$\mathrm{QABC}$の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(72)}}\sqrt{\boxed{\text{(73)(74)}}}}{\boxed{\text{(75)}}}}$である．