2009　慶応義塾大学　理工学部MathJax

【１】

(1)　平面上において点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円を考える．この円の外部にある点$\mathrm{A}$からこの円に引いた$2$本の接線のなす角度が${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$であるとき，${\displaystyle \frac{r}{\mathrm{OA}}}$の値は$\boxed{\text{(ア)}}$である．

【１】

(2)　$xy$平面上で放物線$C:y=x({\displaystyle \frac{5}{2}}-x)$と直線$l:x-2y=0$が囲む図形の面積は$\boxed{\text{(イ)}}$である．放物線$C$と直線$l$との$2$つの交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}$が放物線$C$上を$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで動くとき，三角形$\mathrm{APB}$の面積が最大となるのは点$\mathrm{P}$が${\mathrm{P}}_0(\boxed{\text{(ウ)}},\boxed{\text{(エ)}})$のときである．点${\mathrm{P}}_0$から直線$l$におろした垂線を${\mathrm{P}}_0\mathrm{H}$とすると，$\mathrm{H}$の座標は$(\boxed{\text{(オ)}},\boxed{\text{(カ)}})$である．

【１】

(3)　$xy$平面上において曲線$y=e^x$および$3$つの直線$x=0\text{，}x=1\text{，}y=0$により囲まれる図形を$K$とする．図形$K$を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積は$\boxed{\text{(キ)}}$であり，図形$K$を$y$軸のまわりに回転してできる立体の体積は$\boxed{\text{(ク)}}$である．

【２】　さいころを投げるという試行を繰り返し行う．ただし，$2$回連続して$5$以上の目が出た場合は，それ以降の試行は行わないものとする．

　$n$回目の試行が行われ，かつ$n$回目に出た目が$4$以下になる確率を$p_n$とする．このとき，$p_1={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}{p}_2=\boxed{\text{(ケ)}}\text{，}{p}_3=\boxed{\text{(コ)}}$である．また$p_0=1$とおく．$n\geqq 0$に対して，$p_n\text{，}{p}_{n+1}\text{，}{p}_{n+2}$の間に成立する関係式を求め，それを$p_{n+2}-\beta p_{n+1}=\alpha (p_{n+1}-\beta p_n)\text{（}\alpha >\beta \text{）}$の形に書くと$\alpha =\boxed{\text{(サ)}}$である．よって，$p_n={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(\boxed{\text{(シ)}})$となる．

　また，$n$回目の試行が行われ，かつ$n$回目に出た目が$5$以上になる確率を$q_n$とする．このとき$q_1={\displaystyle \frac{1}{3}}$である．$n\geqq 2$とするとき，$q_n$と$p_{n-1}\text{，}{p}_{n-2}$の間には$q_n=\boxed{\text{(ス)}}$なる関係式が成り立つ．したがって， $5$以上の目が出る回数の期待値は${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{q}_n=\boxed{\text{(セ)}}$である．

【３】　$a>1$とする．$xy$平面上において点$(a,a)$を中心とする半径$r$の円${(x-a)}^2-{(y-a)}^2=r^2$を考える．この円が曲線$C:xy=1\text{（}x>0\text{）}$に接するのは，半径$r$がどのような値のときであるかを調べてみよう．この半径$r$の円が曲線$C$と接するとき，その接点の$x$座標は，曲線

$y=f(x)={(x-a)}^2+{({\displaystyle \frac{1}{x}}-a)}^2$

と直線$y=r^2$が接する場合の接点の$x$座標と一致する．

　$1<a\leqq \boxed{\text{(ソ)}}$のとき，$y=f(x)$は$x>0$において$x={\alpha }_0=\boxed{\text{(タ)}}$でのみ極小となる．よって，$x$座標が${\alpha }_0$なる点において半径$r=\boxed{\text{(チ)}}$の円だけが曲線$C$に接する．

　$a>\boxed{\text{(ソ)}}$のとき，$y=f(x)$は$x>0$において$x={\alpha }_0$で極大となり，$x={\alpha }_1=\boxed{\text{(ツ)}}\text{，}x={\alpha }_2=\boxed{\text{(テ)}}\text{（}{\alpha }_1<{\alpha }_2\text{）}$において極小となる．したがって，$x$座標が${\alpha }_0$になる点で曲線$C$に接する円のほかに，半径$r=\boxed{\text{(ト)}}$の円が$x$座標が${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2$なる$2$点において曲線$C$に接する．

【４】　$a>0$とする．このとき，$3$次方程式

${\displaystyle \frac{1}{2}}(x^3+3x)=a$

はただ一つの実数解$x(a)>0$をもつ．正の数$R$に対し，$0<a\leqq R$の範囲で$a$を動かすとき，対応する実数解$x(a)$が整数となるような$a$の個数を$N(R)$とする．

　$N(R)=1$となるような$R$の範囲は$\boxed{\text{(ナ)}}\leqq R<\boxed{\text{(ニ)}}$である．

　$x=u-{\displaystyle \frac{1}{u}}$とおき，${\displaystyle \frac{1}{2}}(x^3+3x)$を$u$で表すと$\boxed{\text{(ヌ)}}$となる．したがって，$x(a)$を$a$を使って表せば

$x(a)=\sqrt[3]{\boxed{\text{(ネ)}}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{\boxed{\text{(ネ)}}}}}\text{（}\boxed{\text{(ネ)}}>0\text{）}$

となる．

　$L=\underset{R\to \infty }{\lim }{R}^{-C}N(R)$が有限な正の値となるのは$C=\boxed{\text{(ノ)}}$のときであり，そのとき$L=\boxed{\text{(ハ)}}$である．

【５】　$xy$平面上において円$C:x^2+y^2=1$と直線$l:2x-y=0$を考える．

(1)　行列$\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$で表される$1$次変換によって，円$C$はどのような図形に移るか．理由をつけて答えなさい．

(2)　円$C$と直線$l$との交点の座標は$(\boxed{\text{(ヒ)}},\boxed{\text{(フ)}})\text{，}(\boxed{\text{(ヘ)}},\boxed{\text{(ホ)}})$ である．

(3)　円$C$を円$C$に移し，直線$l$を直線$l$に移す$1$次変換を表す行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$をすべて求めなさい．求める過程も示すこと．