2009　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　$f(x)=x^2+3$とし，点$(0,f(0))$を通り傾きが$a$である直線の方程式を$y=g(x)$とする．

$I(a)=3{\displaystyle {\int }_{-1}^1}|f(x)-g(x)|dx$

とおく．

(1)　区間$a\leqq -1$における$I(a)$の最小値は$\boxed{\text{(1)}}\boxed{\text{(2)}}$である．

(2)　$-1\leqq a\leqq 0$のとき$I(a)=\boxed{\text{(3)}}\boxed{\text{(4)}}{a}^3+\boxed{\text{(5)}}\boxed{\text{(6)}}a+\boxed{\text{(7)}}\boxed{\text{(8)}}$で，この区間における$I(a)$の最小値は$\boxed{\text{(9)}}\boxed{\text{(10)}}\text{，}$最大値は$\boxed{\text{(11)}}\boxed{\text{(12)}}$である．

【２】　袋の中に赤玉$2$個と白玉$2$個が入っている．この袋から$2$個の玉を同時に取り出し，色を調べてから袋に戻す．以下では，これを試行という．$n$を自然数とする．次のルール(A)，(B)，(C)に従って試行を繰り返すゲーム$G_n$を行い，得点を決める．

• (A)　取り出した$2$個の玉の色が異なる場合には試行を繰り返す．ただし，$n$回試行を行った場合には繰り返さず，ゲームを終了する．
• (B)　取り出した$2$個の玉の色が同じ場合にはゲームを終了する．
• (C)　$k$回試行を行いゲームが終了した場合に得点を$2^k$とする．

従って最低得点は$2\text{，}$最高得点は$2^n$である．以下では，${\log }_{2}3=1.585\text{，}{\log }_{2}5=2.322$として計算せよ．

(1)　$n=5$のとき，すなわちゲーム$G_5$において，得点が$2^3$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(13)}}\boxed{\text{(14)}}}{\boxed{\text{(15)}}\boxed{\text{(16)}}}}\text{，}$得点が$2^5$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(17)}}\boxed{\text{(18)}}}{\boxed{\text{(19)}}\boxed{\text{(20)}}}}$である．

(2)　ゲーム$G_n$において，得点が$2^{n-1}$以下となる確率が$0.99$以上になるための必要十分条件は$n\geqq \boxed{\text{(21)}}\boxed{\text{(22)}}$である．

(3)　ゲーム$G_n$における得点の期待値は$\boxed{\text{(23)}}\boxed{\text{(24)}}{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(25)}}}{\boxed{\text{(26)}}}}\right)}^n+\boxed{\text{(27)}}\boxed{\text{(28)}}$である．

【３】　座標平面上で，$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(4,3)\text{，}\mathrm{B}(2,5)$を頂点とする$3$角形$\mathrm{OAB}$について考える．

　$3$角形$\mathrm{OAB}$の面積は$\boxed{\text{(29)}}$である．また，線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{C}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=3\overrightarrow{\mathrm{OC}}$により定まる点$\mathrm{D}$の座標は

$(\boxed{\text{(30)}}\boxed{\text{(31)}},\boxed{\text{(32)}}\boxed{\text{(33)}})$，

点$\mathrm{O}$に関して，点$\mathrm{A}$と対称である点の座標は

$(\boxed{\text{(34)}}\boxed{\text{(35)}},\boxed{\text{(36)}}\boxed{\text{(37)}})$，

点$\mathrm{O}$に関して，点$\mathrm{B}$と対称である点の座標は

$(\boxed{\text{(38)}}\boxed{\text{(39)}},\boxed{\text{(40)}}\boxed{\text{(41)}})$

である．

　以下では，$n$角形（$n=3\text{，}4\text{，}5\text{，}\cdots$）はその周および内部からなるものとする．$3$角形$\mathrm{OAB}$の点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$（$\mathrm{E}$と$\mathrm{F}$は同じ点でもよい）を用いて， $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{\mathrm{OE}}+\overrightarrow{\mathrm{OF}}$の形に表すことのできる点$\mathrm{P}$全体の集合を$S\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OE}}-\overrightarrow{\mathrm{OF}}$の形に表すことのできる点$\mathrm{Q}$全体の集合を$T$とする．

　このとき，$S$は面積$\boxed{\text{(42)}}\boxed{\text{(43)}}$である$\boxed{\text{(44)}}$角形をなし，$T$は面積が$\boxed{\text{(45)}}\boxed{\text{(46)}}$である$\boxed{\text{(47)}}$角形をなす．

【４】　$a$は定数とする．以下において，割り算は$x$についての整式とみて行うものとする．

(1)　$A\text{，}B$は$x$についての整式とし，$A$を$x^2-a$で割ると余りが$x+1\text{，}B$を$x^2-a$で割ると余りが$x$であるとする．$AB$を$x^2-a$で割ったときの余りを求めよ．

(2)　$x^{150}$を$x-a$で割ったときの余りを求めよ．

(3)　$x^{150}$を$x^2-a$で割ったときの余りを求めよ．

(4)　$x^{151}$を$x^2-a$で割ったときの余りを求めよ．

(5)　$x^{151}$を$x^5-a$で割ったときの余りを求めよ．

【５】　座標平面上で，不等式

$3({\log }_{2}x-1)\leqq {\log }_{2}y-1\leqq 2({\log }_{2}x-1)$

をみたす点$(x,y)$全体の集合を$D$とする．

(1)　$D$を図示せよ．

(2)　点$(x,y)$が$D$内を動くとき，$x+y$の最大値を求めよ．

(3)　点$(x,y)$が$D$内を動くとき，$x-y$の最大値を求めよ．

【６】　$k$は$0$でない実数とする．座標平面上で，不等式$x^2+y^2<k^2$をみたす点$(x,y)$全体の集合を$A\text{，}$不等式$y\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2k$をみたす点$(x,y)$全体の集合を$B$とする．

(1)　$A\cap B=\phi$となるような$k$の値の範囲を求めよ．ただし，$\phi$は空集合を表す．

(2)　$A\subset B$となるような$k$の値の範囲を求めよ．